प्रश्नावली 5.3 कक्षा 10 गणित | Class 10 maths exercise 5.3 solutions in hindi | Ncert solutions for class 10 maths exercise 5.3 | Exercise 5.3 class 10 Maths | कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.3 | Ncert class 10 maths solutions exercise 5.3 | ex 5.3 class 10 maths solutions in hindi
इस प्रश्नावली में हम समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करेंगे ।
समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र –
| सूत्र 1 – यदि प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है तो समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र – Sn = [ 2a + (n – 1)d ] |
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है –
\mathbf{S_n = \frac{n}{2} \left[ a+a + (n - 1)d \right]}‘
\mathbf{S_n = \frac{n}{2} [ a+{a + (n - 1)d} ]}‘
\mathbf{S_n = \frac{n}{2} \left[ a+a_n \right]}‘
यदि समान्तर श्रेढ़ी में कुल n पद हैं तो an अंतिम पद l के बराबर होगा अत:
| सूत्र 2 – यदि प्रथम पद a तथा अंतिम पद l है तो समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र – \mathbf{S_{n} = \frac{n}{2}[a + l ]} |
प्रश्न 1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढीयों का योग ज्ञात कीजिए ।
(i) 2, 7, 12, ………….., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, ………, 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ……….., 100 पदों तक
(iv) \mathbf{\frac{1}{15},\frac{1}{12},\frac{1}{10},}………….., 11 पदों तक
हल :- 1(i) 2, 7, 12, ………….., 10 पदों तक
प्रथम पद a = 2
सार्वअन्तर d = 7 – 2 = 5
n = 10
sn = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_n = \frac{10}{2} [2(2) + (10-1)\times5]‘
s_{10} = \frac{10}{2} [2\times2 + (10-1)\times5]‘
s_{10} = 5[4 + 45]‘
s_{10} = 5 \times 49‘
s_{10} = 245अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 10 पदों का योग 245 है ।
1(ii) -37, -33, -29, ………, 12 पदों तक
प्रथम पद a = – 37
सार्वअन्तर d = -33 – (-37)
d = -33 + 37
d = 4
n = 12
sn = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_{12} = \frac{12}{2} [2(-37) + (12-1)4]‘
s_{12} = 6[-74 + 44]‘
s_{12} = 6 \times -30‘
s_{12} = -180अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 12 पदों का योग – 180 है ।
1(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ……….., 100 पदों तक
प्रथम पद a = 0.6
सार्वअन्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1
n = 100
sn = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_{100} = \frac{100}{2} [2 \times 0.6 + (100-1) \times 1.2]‘
s_{100} = 50 [1.2 + 99 \times 1.2]‘
s_{100} = 5 [1.2 + 118.8]‘
s_{100} = 5 \times 120‘
s_{100} = 600अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 100 पदों का योग 600 है ।
1(iv)\mathbf{\frac{1}{15},\frac{1}{12},\frac{1}{10},}………….., 11 पदों तक
प्रथम पद a = \frac{1}{15}
सार्वअन्तर d =\frac{1}{12} - \frac{1}{15}
d = \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60}
n = 11
sn = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_{11} = \frac{11}{2} \left[2 \times \frac{1}{15} + (11-1) \times \frac{1}{60}\right]‘
s_{11} = \frac{11}{2} \left[\frac{2}{15} + 10 \times \frac{1}{60}\right]‘
s_{11} = \frac{11}{2} \left[\frac{2}{15} + \frac{1}{6}\right]‘
s_{11} = \frac{11}{2} \left[\frac{4+5}{30}\right]‘
s_{11} = \frac{11}{2} \left[\frac{9}{30}\right]‘
s_{11} = \frac{99}{60}‘
s_{11} = \frac{33}{20}अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 11 पदों का योग \mathbf{\frac{33}{20}} है ।
प्रश्न 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 10\frac{1}{2} +14 + ……….. + 84
(ii) 34+32+30+……….+10
(iii) -5+(-8)+(-11)+………+(-230)
हल :- 2(i) \mathbf{7 + 10\frac{1}{2} +14 + ……….. + 84}
प्रथम पद a = 7
सार्वअन्तर d = 10\frac{1}{2}-7
d =\frac{21}{2} - 7
d = \frac{21-14}{2}
d = \frac{7}{2}
Sn = ?
अंतिम पद an = l = 84
an = a + (n-1)d
84 = 7 + (n-1)\frac{7}{2}
84 – 7 = (n-1)\frac{7}{2}
77 = (n-1)\frac{7}{2}
\frac{77\times2}{7} = n-1
22 = n-1
n = 22+1
n = 23
S_{n} = \frac{n}{2}[a + l ]S23 =\frac{23}{2}[ 7 + 84 ]
S23 = \frac{23}{2} \times 91
S23 =\frac{2093}{2}
S23 =1046\frac{1}{2}
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी का योगफल \mathbf{1046\frac{1}{2}} है ।
2(ii) 34+32+30+……….+10
हल :- प्रथम पद a = 34
सार्वअन्तर d = 32 – 34
d = -2
Sn = ?
अंतिम पद an = l = 10
an = a + (n-1)d
10= 34 + (n-1)(-2)
10 = 34 -2n +2
10 = 36 – 2n
10 – 36 = -2n
-26 = -2n
n = \frac{-26}{-2}
n = 13
S_{n} = \frac{n}{2}[a + l ]S13 =\frac{13}{2}[ 34 + 10 ]
S13 =\frac{13}{2}\times44
S13 = 13 x 22
S13 =
286
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी का योगफल 286 है ।
2(iii) -5+(-8)+(-11)+………+(-230)
हल :- प्रथम पद a = -5
सार्वअन्तर d = (-8) – (-5)
d = -8+5
d = -3
Sn = ?
अंतिम पद an = l = -230
an = a + (n-1)d
-230 = -5 + (n-1)(-3)
-230 = -5 -3n +3
-230 = -2 – 3n
-230 +2 = -3n
-228 = -3n
n = \frac{-228}{-3}
n = 76
S_{n} = \frac{n}{2}[a + l ]S76 =\frac{76}{2}[ -5 + (-230) ]
S76 = \frac{76}{2}\times(-230)
S76 = 38 x -235
S76 = – 8930
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी का योगफल -8930 है ।
प्रश्न 3. एक A.P. में
(i) a = 5, d =3 और an = 50 दिया है । n और Sn ज्ञात कीजिए ।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और Sn ज्ञात कीजिए ।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और Sn ज्ञात कीजिए ।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और an ज्ञात कीजिए ।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।
(vi) a =2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और a9 ज्ञात कीजिए ।
(vii) a =8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और dज्ञात कीजिए ।
(viii) an = 4, d =2 और Sn = -14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।
(ix) a =3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । a ज्ञात कीजिए ।
हल :- 3(i) a = 5, d =3 और an = 50 दिया है । n और Sn ज्ञात कीजिए ।
प्रथम पद a = 5
सार्वअन्तर d = 3
an = 50
n = ? और Sn = ?
an = a + (n-1)d
50 = 5 + (n-1)3
50 = 5 + 3n – 3
50 = 2 + 3n
50 – 2 = 3n
3n = 48
n = \frac{48}{3}
n = 16
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_{16} = \frac{16}{2} [2 \times 5 + (16-1) \times 3]‘
s_{16} = 8[10 + 45]‘
s_{16} = 8 \times 55sn = 440
अत: n = 16 तथा Sn = 440 है ।
3(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है । d और Sn ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = 7
n = 13
a13 = 35
d = ? और Sn = ?
a13 = a + 12d
35 = 7 + 12d
35 – 7 = 12d
28 = 12d
d = \frac{28}{12}
d = \frac{7}{3}
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]‘
s_{13} = \frac{13}{2} [2 \times 7 + (13-1) \times \frac{7}{3}]‘
s_{13} = \frac{13}{2} [14 + 12 \times \frac{7}{3}]‘
s_{13} = \frac{13}{2} [14 + 28]‘
s_{13} = \frac{13}{2} \times 42‘
s_{13} = 13 \times 21s13 = 273
अत: d = \mathbf{\frac{7}{3}} तथा S13 = 273 है ।
3(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है । a और Sn ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = ?
सार्वअन्तर d = 3
a12 = 37
n = 12
a = ? और Sn = ?
a12 = a + 11d
37 = a + 11×3
37 = a + 33
37 – 33 = a
a = 4
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ s_{12} = \frac{12}{2} [2 \times 4 + (12-1) \times 3]\\ s_{12} = 6 [8 + 33]\\ s_{12} = 6 \times 41\\ s_{12} = 246अत: a = 4 तथा S12 = 246 है ।
3(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है । d और an ज्ञात कीजिए ।
हल :- a3 = 15
S10 = 125
n = 10
d = ? , a10 = ?
a3 = 15
a + 2d = 15 ……. (1)
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ s_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d]\\ 125 = 5 [2a + 9d]\\ \frac{125}{5} = 2a + 9\\25 = 2a + 9d ………. (2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर
2a + 4d = 30 …….. (3)
समी. (2) में समी. (3) घटाने पर
(2a + 9d) – (2a +4d) = 25 – 30
5d = -5
d =
d = -1
समी. (1) में d = -1 रखने पर
a + 2(-1) = 15
a – 2 = 15
a = 15 + 2
a = 17
a10 = a + 9d
a10 = 17 + 9 (-1)
a10 = 17 – 9
a10 = 8
अत: d = -1 तथा a10 = 8 है ।
3(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है । a और a9 ज्ञात कीजिए ।
प्रथम पद a = ?
सार्वअन्तर d = 5
S9 = 75
n = 9
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ s_9 = \frac{9}{2} [2a + (9-1)5]\\ 75 = \frac{9}{2} [2a + 40]\\ 75 = \frac{9}{2} \times 2 (a + 20)\\ 75 = \frac{9}{2} \times 2(a + 20)\\75 = 9 (a +20)
75 = 9a + 180
75 – 180 = 9a
-105 = 9a
a = \frac{-105}{9}
a = \frac{-35}{3}
a9 = a + 8d
a_9 = \frac{-35}{3} + 8 \times 5\\ a_9 = \frac{-35}{3} + 40\\ a_9 = \frac{-35 + 120}{3}\\ a_9 = \frac{85}{3}अत: a = \mathbf{\frac{-35}{3}} तथा a9 = \mathbf{\frac{85}{3}} है ।
3(vi) a =2, d = 8 और Sn = 90 दिया है । n और an ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = 2
सार्वअन्तर d = 8
Sn =90
n = ?, an = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ 90 = \frac{n}{2} [2 \times 2 + (n-1)8]\\ 90 \times 2 = n [4 + 8n - 8]180 = n (8n – 4)
180 = 4n (2n – 1)
\frac{180}{4} = n (2n - 1)45 = 2n2 – n
2n2 – n – 45 = 0
2n2 – 10n + 9n – 45 = 0
2n (n – 5) + 9(n-5) = 0
(n-5)(2n+9) = 0
n-5 = 0 या 2n + 9 = 0
n = 5 या n = \frac{-9}{2}
अत: n = 5
an = a + (n-1)d
a5 = a + 4d
a5 = 2 + 4(8)
a5 = 2 + 32
a5 = 34
अत: n = 5 तथा an = 34 है ।
3(vii) a =8, an = 62 और Sn = 210 दिया है । n और dज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = 8
n = ?, d = ?
an = 62
हम जानते हैं कि A.P. का n वॉं पद
an = a +(n-1)d
62 = 8 +(n-1)d
62 – 8 = (n – 1)d
54 =(n – 1)d ………….. (1)
Sn = 210
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ 210 = \frac{n}{2} [2\times8 + (n-1)d]\\ 210 = \frac{n}{2} [16 + (n-1)d]समीकरण (1) से (n-1)d = 54 रखने पर
210 = \frac{n}{2} [ 16 + 54 ]\\ 210 = \frac{n}{2}\times70\\210 = 35n
n = \frac{210}{35}
n = 6
समीकरण् (1) में n = 6 रखने पर
54 = (6-1)d
54 = 5d
d = \frac{54}{5}
अत: n = 6 तथा d = \mathbf{\frac{54}{5}} है ।
3(viii) an = 4, d =2 और Sn = -14 दिया है । n और a ज्ञात कीजिए ।
प्रथम पद a = ?
सार्वअन्तर d = 2
n = ?
an = 4
हम जानते हैं कि A.P. का n वॉं पद
an = a + (n-1)d
4 = a + (n-1)2
4 = a + 2n -2
4 + 2 = a + 2n
6 = a + 2n …………. (1)
Sn = -14
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ s_n = \frac{n}{2} [a + \{a + (n-1)d\}]\\ s_n = \frac{n}{2} [a + a_{n}]\\ s_{n} = \frac{n}{2} [ a + 4 ]-14×2 = n(a+4)
-28 = na + 4n……….. (2)
समीकरण (1) से
6 = a + 2n
a = 6 – 2n ………… (3)
a का यह मान समीकरण (2) में रखने पर
-28 = n(6 – 2n) + 4n
-28 = 6n – 2n2 + 4n
-28 = 10n – 2n2
2n2 – 10n – 28 = 0
2 से भाग करने पर
n2 – 5n – 14 = 0
n2 – 7n + 2n – 14 = 0
n(n-7) + 2(n-7) = 0
(n-7)(n+2) = 0
n-7 = 0 या n+2 = 0
n = 7 या n = -2(यह ऋणात्मक है अत: यह संभव नहीं )
n = 7
समीकरण (3) में n = 7 रखने पर
a = 6 – 2(7)
a = 6 – 14
a = -8
अत: n = 7 तथा a = -8 है ।
3(ix) a =3, n = 8 और S = 192 दिया है । d ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = 3
n = 8
S = 192
d = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ 192 = \frac{8}{2} \left[2 \times 3 + (8-1)d\right]\\192 = 4(6 + 7d)
192 = 24 + 28d
192 – 24 = 28d
168 = 28d
d = \frac{168}{28}
d = 6
अत: सार्वअन्तर d = 6 है ।
3(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं । a ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = ?
n = 9
l = 28
S = 144
s_{n} = \frac{n}{2} [ a + l ]\\ 144 = \frac{9}{2} [ a + 28 ]144×2 = 9(a + 28)
288 = 9a + 252
288 – 252 = 9a
36 = 9a
a = \frac{36}{9}
a = 4
अत: प्रथम पद a = 4 है ।
प्रश्न 4. 636 योग प्राप्त करने के लिए A.P. : 9, 17, 25, ……. के कितने पद लेने चाहिए ?
हल :- प्रथम पद a = 9
सार्वअन्तर d = 17 – 9
d = 8
Sn = 636
n = ?
s_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ 636 = \frac{n}{2} [2 \times 9 + (n-1) \times 8]\\ 636 = \frac{n}{2} [ 18 + (n-1)8 ]\\ 636 = \frac{n}{2}\times2 [9 + (n-1) \times 4]\\636 = n[9 + (n-1)4]
636 = n[9 + 4n – 4 ]
636 = n[5 +4n]
636 = 5n + 4n2
4n2 + 5n – 636 = 0
श्रीधराचार्य सूत्र से
a = 4, b = 5, c = -636
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2-4ac}}}}{{2a}}\\ n = \frac{{-5 \pm \sqrt{{(5)^2-4(4)(-636)}}}}{{2(4)}}\\ n = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25+10176}}}}{{8}}\\ n = \frac{{-5 \pm \sqrt{{10201}}}}{{8}}\\ n = \frac {-5 \pm 101}{8}\\ n = \frac{{-5+101}}{{8}} \quad \text{or} \quad n = \frac{{-5-101}}{{8}}\\n = \frac{96}{8} या n = \frac{-106}{8}
n = 12 या n = \frac{-53}{4}( यह ऋणात्मक मान है अत: यह संभव नहीं )
n = 12
अत: 636 योग प्राप्त करने के लिए A.P. : 9, 17, 25, ……. के 12 पद लेने चाहिए ।
प्रश्न 5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है । पदों की संख्या और सार्व अन्तर ज्ञात कीजिए ।
हल :- प्रथम पद a = 5
अंतिम पद an = = l = 45
Sn = 400
n =?, d = ?
s_{n} = \frac{n}{2} [ a + l ]\\ 400 = \frac{n}{2} [ 5 + 45 ]\\ 400 = \frac{n}{2}\times50400 = 25n
n = \frac{400}{25}n = 16
an = a + (n-1)d
45 = 5 + (16-1)d
45 = 5 + 15d
45 – 5 = 15d
40 = 15d
d = \frac{40}{15}
d = \frac{8}{3}
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी में n = 16 तथा d =\mathbf{\frac{8}{3}} है ।
प्रश्न 6. किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमश: 17 और 350 हैं । यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है ?
हल :- प्रथम पद a = 17
सार्वअन्तर d = 9
अंतिम पद an = l = 350
n = ?, Sn = ?
an = a + (n-1)d
350 = 17 + (n-1)9
350 = 17 + 9n – 9
350 = 8 + 9n
350 – 8 = 9n
342 = 9n
n = \frac{342}{9}
n = 38
S_{n} = \frac{n}{2} [ a + l ]\\ S_{n} = \frac{38}{2} [ 17 + 350 ]Sn = 19 (367)
Sn = 6973
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या 38 और इनका योग 6973 है ।
प्रश्न 7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22 वॉं पद 149 है ।
हल :- सार्वअन्तर d = 7
n = 22
अंतिम पद = a22 = l =149
Sn = ?
a22 = a + 21d
149 = a + 21×7
149 = a + 147
a = 149 – 147
a = 2
S_{n} = \frac{n}{2} [ a + l ]\\ S_{n} = \frac{22}{2} [ 2 + 149 ]S22 = 11(151)
S22 = 1661
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के पदों का योग 1661 है ।
प्रश्न 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं ।
हल :- n = 51
a2 = 14
a+d = 14 ……. (1)
और a3 = 18
a + 2d = 18 ……… (2)
समीकरण (2) में (1) घटाने पर
(a+2d) – (a+d) = 18 – 14
d = 4
समीकरण (1) में d = 4 रखने पर
a + 4 = 14
a = 14 – 4
a = 10
S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\\ S_{51} = \frac{51}{2} [2 \times 10 + (51-1) \times 4]\\ S_{51} = \frac{51}{2} [20 + 200]\\ S_{51} = \frac{51}{2} \times 220S51= 51 x 110
S51= 5610
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम 51 पदों का योग S51 = 5610 है ।
प्रश्न 9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :- S7 = 49
S17 = 289
Sn = ?
S7 = 49
\frac{7}{2}[2a + (7-1)d] = 49
\frac{7}{2}[2a + 6d] = 49
\frac{7}{2}\times2[a + 3d] = 49
7(a+3d) = 49
a + 3d = \frac{49}{7}
a + 3d = 7 …….(1)
इसी प्रकार
S17 = 289
\frac{17}{2}[2a + (17-1)d] = 289
\frac{17}{2}[2a + 16d] = 289
\frac{17}{2}\times2 [a + 8d] = 289
17(a+8d) = 289
a + 8d = \frac{289}{17}
a + 8d = 17 …….(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
(a+8d) – (a+3d) = 17 – 7
5d = 10
d = \frac{10}{5}
d = 2
समीकरण (1) में d = 2 रखने पर
a + 3(2) = 7
a + 6 = 7
a = 7-6
a = 1
समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
Sn = \frac{n}{2}[ 2×1 + (n-1)2 ]
Sn = \frac{n}{2}[ 2 + 2n – 2 ]
Sn = \frac{n}{2}\times2n
Sn = n x n
Sn = n2
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sn = n2 है ।
प्रश्न 10. दर्शाइए कि a1, a2, ……,an,…… से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n
साथ ही प्रत्येक स्थिति में प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :- (i) an = 3 + 4n
n = 15
S15 = ?
n = 1 रखने पर प्रथम पद प्राप्त होगा
प्रथम पद a = a1 = 3 + 4(1)
a = 3+4
a = 7
अंतिम पद अर्थात 15 वां पद
n = 15 रखने पर
a15 = 3 + 4(15)
a15 = 3 + 60
a15 = 63
Sn = \frac{n}{2}[a + l ]
S15 = \frac{15}{2}[ 7 + 63 ]
S15 = \frac{15}{2}\times 70
S15 = 15 x 35
S15 = 525
अत: प्रथम 15 पदों का योग 525 है ।
(ii) an = 9 – 5n
हल :- n = 15
S15 = ?
n = 1 रखने पर प्रथम पद प्राप्त होगा
प्रथम पद a = a1 = 9 – 5(1)
a = 9 – 5
a = 4
अंतिम पद अर्थात 15 वां पद
n = 15 रखने पर
a15 = 9 – 5(15)
a15 = 9 – 75
a15 = – 66
Sn = \frac{n}{2}[a + l ]
S15 = \frac{15}{2}[ 4 + (-66) ]
S15 = \frac{15}{2}[ 4 – 66 ]
S15 = \frac{15}{2}\times-62
S15 = 15 x -31
S15 = – 465
अत: प्रथम 15 पदों का योग -465 है ।
प्रश्न 11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है तो इसका प्रथम पद (अर्थात S1) क्या है ? प्रथम दो पदों का योग क्या है ? दूसरा पद क्या है ? इसी प्रकार तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए ।
हल :- Sn = 4n – n2
n = 1 रखने पर S1 प्राप्त होगा
प्रथम पद S1 = 4(1) – (1)2
S1 = 4 – 1
S1 = 3
n = 2 रखने पर S2 प्राप्त होगा
प्रथम दो पदों का योग S2 = 4(2) – (2)2
S2 = 8 – 4
S2 = 4
प्रथम दो पदों(S2) के योग में प्रथम पद(S1) घटाकर, दूसरा पद ज्ञात करेंगें।
दूसरा पद = S2 – S1
a2 = 4 – 3
a2 = 1
अत: दूसरा पद = 1
इसी प्रकार प्रथम तीन पदों के योग(S3) में प्रथम दो पदों का योग(S2) घटाकर, तीसरा पद ज्ञात करेंगे ।
Sn = 4n – n2
n = 3 रखने पर S3 प्राप्त होगा
प्रथम तीन पदों का योग S3 = 4(3) – (3)2
S3 = 12 – 9
S3 = 3
तीसरा पद = S3 – S2
a3 = 3 – 4
a3 = -1
इसी प्रकार प्रथम दस पदों के योग(S10) में प्रथम नौ पदों का योग(S9) घटाकर, दसवां पद ज्ञात करेंगे ।
Sn = 4n – n2
n = 10 रखने पर S10 प्राप्त होगा
प्रथम दस पदों का योग S10 = 4(10) – (10)2
S10 = 40 – 100
S10 = -60
Sn = 4n – n2
n = 9 रखने पर S9 प्राप्त होगा
प्रथम नौ पदों का योग S9 = 4(9) – (9)2
S9 = 36 – 81
S9 = -45
दसवां पद = S10 – S9
a10 = -60 – (-45)
a10 = -60 + 45
a10 = -15
दसवां पद = -15
इसी प्रकार प्रथम n पदों के योग(Sn) में प्रथम n-1 पदों का योग(Sn-1) घटाकर, n वां पद ज्ञात करेंगे ।
Sn = 4n – n2
n = n-1 रखने पर Sn-1 प्राप्त होगा
प्रथम n-1 पदों का योग Sn-1 = 4(n-1) – (n-1)2
Sn-1 = 4n – 4 – ( n2 – 2n + 1 )
Sn-1 = 4n – 4 – n2 + 2n – 1
Sn-1 = 6n – n2 – 5
n वां पद = Sn – Sn-1
an = (4n – n2) – (6n – n2 – 5)
an = 4n – n2 – 6n + n2 + 5
an = 5 -2n
n वां पद = 5 – 2n
प्रश्न 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य है ।
हल :-
तरीका 1 – 6 से विभाज्य धन पूर्णांक निम्न हैं –
6, 12, 18, 24, ………………….
प्रथम पद a = 6
सार्वअन्तर d = 12 – 6
d = 6
n = 40
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
S40 = \frac{40}{2}[ 2×6 + (40-1) ]
S40 = 20 ( 12 + 39×6 )
S40 = 20 ( 12 + 234 )
S40 = 20 x 246
S40 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है ।
तरीका 2 – 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांक निम्न हैं –
6, 12, 18, 24, …………………., 240
प्रथम पद a = 6
अंतिम पद l = 240
n = 40
Sn = \frac{n}{2}[a + l ]
S40 = \frac{40}{2}[ 6 + 240 ]
S40 = 20 x 246
S40 = 4920
अत: 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है ।
प्रश्न 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :- 8 के प्रथम 15 गुणज निम्न हैं –
8, 16, 24, …………….., 120
प्रथम पद a = 8
अंतिम पद l = 120
n = 15
Sn = \frac{n}{2}[a + l ]
S15 = \frac{15}{2}[ 8 + 120 ]
S15 = \frac{15}{2}\times128
S15 = 15 x 64
S15 = 960
अत: 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है ।
प्रश्न 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :- 0 और 50 के बीच विषम संख्याऐं निम्न हैं –
1, 3, 5, 7, ……………., 49
0 और 50 के बीच में कुल 25 विषम संख्याऐं हैं ।
प्रथम पद a = 8
अंतिम पद l = 120
n = 25
Sn = \frac{n}{2}[a + l ]
S15 = \frac{25}{2}[ 1 + 49 ]
S15 = \frac{25}{2}\times50
S15 = 25 x 25
S15 = 625
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है ।
प्रश्न 15. निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए रू 200, दूसरे दिन के लिए रू 250, तीसरे दिन के लिए रू 300 इत्यादि अर्थात प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से रू 50 अधिक है । एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी , यदि वह इस कार्य को 30 दिन का विलंब कर देता है ?
हल :- 30 दिन का जुर्माना निम्नानुसार होगा –
200, 250, 300, 350, ………………………
यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है जिसका
प्रथम पद a = 200
सार्वअन्तर d = 250 – 200
d = 50
n = 30
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
S30 = \frac{30}{2}[ 2×200 + (30-1)50 ]
S30 = 15 [ 400 + 29×50 ]
S30 = 15 [ 400 + 1450 ]
S30 = 15 x 1850
S30 = 27750
अत: इस कार्य को 30 दिन विलंब से करने पर कुल जुर्माना रू 27750 अदा करने पड़ेंगे ।
प्रश्न 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए रू 700 की राशि रखी गई है । यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से रू 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :- 7 पुरस्कारों की कुल राशि = 700 रू
अर्थात Sn = 700
n = 7
d = -20
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
700 = \frac{7}{2}[2a + (7-1)(-20)]
700 = \frac{7}{2}[2a + 6(-20) ]
700 = \frac{7}{2}[2a – 120 ]
\frac{700\times2}{7} = 2a – 120
200 = 2a – 120
200 + 120 = 2a
320 = 2a
a = \frac{320}{2}
a = 160
पहला पुरस्कार = 160 रू
दूसरा पुरस्कार = 160 – 20 = 140 रू
तीसरा पुरस्कार = 140 – 20 = 120 रू
इस प्रकार चौथा, पांचवा, छठा एवं सातवां पुरस्कार क्रमश: 100, 80, 60 एवं 40 रू होंगे ।
प्रश्न 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदुषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा । यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा । उदाहरणार्थ कक्षा 1 का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा 2 का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा 3 का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा 12 तक के लिए चलता रहेगा । प्रत्येक कक्षा के 3 अनुभाग हैं । इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी ?
हल :- कक्षा 1 के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3×1 = 3
कक्षा 2 के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3×2 = 6
कक्षा 3 के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3×3 = 9
इस प्रकार कक्षा 1 से 12 तक के विद्यार्थियों द्वारा निम्न क्रमानुसार पेड़ लगाए गए
3, 6, 9, …………………………..
यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है जिसका
प्रथम पद a = 3
सार्वअन्तर d = 6 – 3
d = 3
n = 12
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
S12 = \frac{12}{2}[ 2×3 + (12-1)3 ]
S12 = 6 [ 6 + 33 ]
S12 = 6 x 39
S12 = 234
अत: इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या 234 होगी ।
प्रश्न 18. केन्द्र A से प्रारंभ करते हुए , बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm ,……. वाले उतरोत्तर अर्धवृतों को खींचकर एक सर्पिल बनाया गया है, जैसाकि आकृति 5.4 में दर्शाया गया है । तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है ? ( \mathbf{\pi = \frac{22}{7}} लीजिए । )
हल :- अर्धवृतों से बने सर्पिलों की त्रिज्याऐं क्रमश: निम्न हैं –
0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm ,…….
( क्योंकिअर्धवृत की परिधि = )
अर्धवृत से बने पहले सर्पिल की लम्बाई l1 = \pi.r = 0.5\pi
अर्धवृत से बने दूसरे सर्पिल की लम्बाई l2 = \pi.r = 1.0\pi
अर्धवृत से बने तीसरे सर्पिल की लम्बाई l3 = \pi.r = 1.5\pi
अत: अर्धवृतों से बने सर्पिलों की लम्बाईयां निम्नानुसार होंगी –
0.5\pi , 1.0\pi , 1.5\pi , 2.0\pi , ……………………
यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है जिसका
प्रथम पद a = 0.5\pi
सार्वअन्तर d = 1.0\pi – 0.5\pi
d = 0.5\pi
n = 13
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
S13 = \frac{13}{2}[ 2\times0.5\pi + (13-1)0.5\pi ]
S13 = \frac{13}{2}[ 1.0\pi + 12\times0.5\pi ]
S13 = \frac{13}{2}[ \pi + 6\pi ]
S13 = \frac{13}{2}\times7\pi
S13 = \frac{13}{2}\times7\times\frac{22}{7}
( क्योंकि \pi = \frac{22}{7} है ।
S13 = 13 x 11
S13 = 143
अत: तेरह क्रमागत अर्धवृतों से बने सर्पिल की कुल लम्बाई 143cm है ।
प्रश्न 19. 200 लट्ठों को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि ( देखिए आकृति 5.5 ) । ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे उपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं ?
हल :- कुल लट्ठेSn= 200
n = ?
an = ?
पंक्तिओं में लट्ठे क्रमश : निम्नानुसार हैं –
20, 19, 18, …………………..
यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है जिसका
प्रथम पद a = 20
सार्वअन्तर d = 19 – 20
d = -1
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
200 = \frac{n}{2}[ 2×20 + (n-1)(-1) ]
200 = \frac{n}{2}[ 40 – n + 1 ]
200 = \frac{n}{2}[ 41 – n ]
200 x 2 = n [ 41 – n ]
400 = 41n – n2
n2 – 41n + 400 = 0
n2 – 25n -16n + 400 = 0
n(n-25) -16(n-5) = 0
(n-16)(n-25) = 0
n – 16 = 0 या n – 25 = 0
n = 16 या n = 25
पंक्तियों की संख्या 16 या 25 है ।
यदि पंक्तियों की संख्या n = 16 है तो
सबसे उपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या
an = a + (n-1)d
a16 = 20 + (16-1)(-1)
a16 = 20 – 15
a16 = 5
यदि पंक्तियों की संख्या 16 है तो सबसे उपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या 5 है ।
यदि पंक्तियों की संख्या n = 25 है तो
सबसे उपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या
an = a + (n-1)d
a25 = 20 + (25-1)(-1)
a25 = 20 + 24(-1)
a25 = 20 – 24
a25 = -4
यह ऋणात्मक मान है, लट्ठों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, अत: पंक्तियों की संख्या 25 नहीं है ।
अत: यदि पंक्तियों की संख्या 16 है तो सबसे उपरी पंक्ति में लट्ठों की संख्या 5 है ।
प्रश्न 20. एक आलू दौड़ में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है तथा अन्य आलूओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरीयों पर रखा गया है । इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं ( देखिए आकृति 5.6 )। प्रत्येक प्रतिभागी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाऍं । इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी ?
हल :-
पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2×5 = 10m
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2(5+3) = 16m
तीसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2(5+3+3) = 22m
चौथे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2(5+3+3+3) = 28m
अत: आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरीयां (मीटर में) क्रमश : निम्नानुसार हैं –
10, 16, 22, 28, ………………………….
यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है जिसका
प्रथम पद a = 10
सार्वअन्तर d = 16 – 10
d = 6
n = 10
प्रतियोगी द्वारा दौड़ी गई कुल दूरी
Sn = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]
S10 = \frac{10}{2}[ 2×10 + (10-1)6 ]
S10 = 5 [ 20 + 9×6 ]
S10 = 5 [ 20 + 54 ]
S10 = 5 x 74
S10 = 370
अत: प्रतियोगी को कुल 370m दूरी दौड़नी पड़ेगी ।
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प्रश्नावली 5.3 कक्षा 10 गणित में मुख्य 2 सूत्रों का उपयोग हुआ है –
सूत्र 1 – समान्तर श्रेढी के n पदों का योग
s_{n} = \frac{n}{2} [ 2a + (n-1)d ]
यदि समान्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा अंतिम पद l दिया हो तो n पदों का योग
s_{n} = \frac{n}{2} [ a + l ]
प्रश्नावली 5.3 कक्षा 10 गणित में कुल प्रश्नों की संख्या 20 है ।
प्रश्नावली 5.3 कक्षा 10 गणित में प्रश्न संख्या 1, 2, 3, 4, 8, 9, 13 एवं 14 महत्वपूर्ण हैं ।
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