प्रश्‍नावली 3.7 कक्षा 10 गणित 2023-24 | NCERT 2022-23 Exercise 3.7 class 10 maths solutions in hindi

NCERT Exercise 3.7 class 10 maths | प्रश्‍नावली 3.7 कक्षा 10 गणित |class 10 maths solutions

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 3.7 समाधान

प्रश्‍न 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है । अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है । कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है । अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना अनी की आयु x वर्ष तथा बीजू की आयु y वर्ष है ।

स्थिति । यदि अनी, बीजू से बड़ा है तो   x – y = 3 …………….. (1)

अनी के पिता धरम की आयु = 2 x अनी की आयु = 2x

कैथी की आयु = \frac{बीजू की आयु }{2} = \frac{y}{2}

कैथी और धरम की आयु का अंतर = 30 वर्ष

2x – \frac{y}{2} = 30

4x – y = 60 ……………….. (2)

समीकरण (1) से x – y = 3

             x = 3+y ……………… (3)

x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्‍थापित करने पर

4(3+y) – y = 60

12 + 4y – y = 60

3y = 60 – 12

3y = 48

y = \frac{48}{3}

y = 16

y का यह मान समीकरण (3) में रखने पर

x = 3 + 16

x = 19

अत: अनी की आयु 19 वर्ष तथा बीजू की आयु 16 वर्ष है ।

स्थिति ।। यदि बीजु, अनी से बड़ा है तो

y – x = 3 ……….. (4)

y = 3+x

y का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्‍थापित करने पर

4x – (3+x) = 60

4x – 3 – x = 60

3x = 63

\frac{63}{3}

x का यह मान समीकरण (4) में रखने पर

y = 3 + 21

y = 24

अत: अनी की आयु 21 वर्ष तथा बीजू की आयु 24 वर्ष है ।

प्रश्‍न 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘ यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाउंगा ‘। दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें तो मैं आपसे छ: गुना धनी बन जाउंगा ‘। बताईए कि उनकी क्रमश: क्‍या संपतियां हैं ।

हल :- माना प्रथम व्‍यक्ति के पास x (रू में) संपति है तथा द्वितीय व्‍यक्ति के पास y (रू में) संपति है ।

यदि दूसरा व्‍यक्ति प्र‍थम व्‍यक्ति को 100 रू दे दे तो प्रथम व्‍यक्ति के पास (x+10) रू हो जाएंगे तथा उसके पास (y-100) रू रह जाएंगे ।

तो (x+100) = 2(y-100)

x + 100 = 2y – 200

x – 2y + 300 = 0 ……………… (1)

यदि प्रथम व्‍यक्ति दूसरे व्‍यक्ति को 10 रू दे दे तो दूसरे व्‍यक्ति के पास (y+10) रू हो जाएंगे तथा प्रथम व्‍यक्ति के पास (x-10) रू रह जाएंगे ।

तो (y+10) = 6(x-10)

y + 10 = 6x – 60

y – 6x + 70 = 0 ………………. (2)

समीकरण (1) से

x = 2y – 300 ……………… (3)

x का यह मान समीकरण (2) में प्रतिस्‍थापित करने पर

y – 6(2y-300) + 70 = 0

y – 12y + 1800 + 70 = 0

-11y = – 1870

\frac{1870}{11}

y = 170

y का यह मान समीकरण (3) में रखने पर

x = 2(170) – 300

x = 340 – 300

x = 40

अत: प्रथम व्‍यक्ति के पास 40 (रू में) संपति तथा दूसरे व्‍यक्ति के पास 170 (रू में) संपति है ।

प्रश्‍न 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है । यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती तो उसे नियत समय से 2 घण्‍टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती तो उसे नियत समय से 3 घण्‍टे अधिक लगते । रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना रेलगाडी की नियत चाल x km/h तथा रेलगाड़ी द्वारा तय की गई नियत दूरी y km है ।

तो नियत समय = \frac{y}{x} घण्‍टे  [ समय = \frac{दूरी}{चाल} ]

यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती है तो समय = \frac{y}{x+10} घण्‍टे 

यदि रेलगाड़ी 10 km/h अधिक तेज चलती होती तो उसे नियत समय से 2 घण्‍टे कम लगते तो

\frac{y}{x+10} =  \frac{y}{x} – 2

\frac{y}{x+10} =  \frac{y-2x}{x}

xy = (x+10)(y-2x)

xy = xy -2x² +10y – 20x

2x² +20x = 10y

x² + 10x = 5y

y = \frac{x^{2}+10x}{5}  ……………….. (1)

यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती तो उसे नियत समय से 3 घण्‍टे अधिक लगते तो

\frac{y}{x-10} =  \frac{y}{x} + 3

\frac{y}{x-10} =  \frac{y+3x}{x}

xy = (x-10)(y+3x)

xy = xy +3x² -10y -30x

10y = 3x²-30x

y = \frac{3x^{2} -30x}{10}  ……………….. (2)

समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर

\frac{x^{2}+10x}{5} = \frac{3x^{2} -30x}{10}

10(x²+10x) = 5(3x²-30x)

10x(x+10) = 5x(3x-30)

10(x+10) = 5(3x-30)

10x + 100 = 15x – 150

150 + 100 = 15x – 10x

250 = 5x

x = 50

x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर

y = \frac{2500+50}{5} = \frac{3000}{5} = 600

अत: रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी 600 किमी. है ।

प्रश्‍न 4. एक कक्षा के विद्यार्थीयों को पंक्तियों में खड़ा होना है । यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो 1 पंक्ति कम होती । यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियां अधिक बनती । कक्षा में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना पंक्तियों की संख्‍या x तथा प्रत्‍येक पंक्ति में विद्यार्थीयों की संख्‍या y है तो

कक्षा में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या = xy

स्थिति I यदि प्रत्‍येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक हों तो 1 पंक्ति कम बनती है अर्थात

पंक्तियों की संख्‍या x प्रत्‍येक पंक्ति में विद्यार्थीयों की संख्‍या = कक्षा में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या

(y+3)(x-1) = xy

xy – y + 3x – 3 = xy

3x – 3 = y …………… (1)

स्थिति II यदि प्रत्‍येक पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम हों तो 2 पंक्तियां अधिक बनती हैं अर्थात

पंक्तियों की संख्‍या x प्रत्‍येक पंक्ति में विद्यार्थीयों की संख्‍या = कक्षा में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या

(y-3)(x+2) = xy

xy + 2y – 3x – 6 = xy

2y – 3x – 6 = 0 ………………. (2)

समीकरण (1) से y का मान समीकरण (2) में रखने पर

2(3x-3) – 3x – 6 = 0

6x -6 -3x -6 = 0

3x – 12 = 0

3x = 12

x = \frac{12}{3}

x = 4

समीकरण (1) में x = 4 रखने पर

y = 3(4) – 3

y = 12 – 3

y = 9

अत: कक्षा में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या = xy = 4×9 = 36

प्रश्‍न 5. एक  में LC = 3.LB = 2(LA+LB) हैं । त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना कोण LA = x तथा LB = y है तो LC = 3LB = 3y

दिया गया है 3.LB = 2(LA+LB)

           3y = 2(x+y)

           3y = 2x + 2y

           3y – 2y = 2x

            y = 2x ………….. (1)

हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180⁰ होता है ।

LA + LB + LC = 180

x + y + 3y = 180

x + 4y = 180

समीकरण (1) से y = 2x रखने पर

x + 4(2x) = 180

9x = 180

x = \frac{180}{9}

x = 20

क्‍योंकि y = 2x

y = 2×20

y = 40

अत: LA = x = 20⁰

     LB = y = 40⁰

     LC = 3y = 3×40 = 120⁰

प्रश्‍न 6. समीकरणों 5x – y = 5 तथा 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए । इन रेखाओं और y अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए । इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रकलन का परिकलन कीजिए ।

हल :- 5x – y = 5 …………… (i)

5x – 5 = y

y = 5x – 5

x	0	1	2
y = 5x-5	-5	0	5

3x – y = 3 …………… (ii)

y = 3x – 3

x	0	1	2
y = 3x-3	-3	0	3

प्रश्‍न 7. निम्‍न रैखिक समीकरणों के युग्‍मों को हल कीजिए :-

 (i) px+qy = p-q ………… (1)

     qx-py = p+q …………… (2)

हल :- समीकरण (1) को p से तथा समीकरण (2) को q से गुणा करने पर

p²x + pqy = p(p-q) …………. (3)

q²x – pqy = q(p+q) …………. (4)

समीकरण (3) व (4) जोड़ने पर

(p²x + pqy) + (q²x – pqy) = p(p-q) + q(p+q)

(p²+q²)x = p²-pq+pq+q²

(p²+q²)x = p²+q²

x = \frac{ p^{2} + q^{2} }{p^{2} + q^{2}}

x = 1

समीकरण (1) में x = 1 रखने पर

p(1) + qy = p-q

qy = -q

y = \frac{-q}{q}

y = -1

अत: हल x = 1, y = -1

(ii) ax + by = c ………… (1)

   bx + ay = 1+c …… (2)

हल:- समीकरण (1) को a से तथा समीकरण (2) को b से गुणा करने पर

 a²x + aby = ac ………………. (3)

b²x + aby = b + bc ……….. (4)

समीकरण (3) में से समीकरण (4) घटाने पर

(a²x + aby) – (b²x + aby) = ac – (b+bc)

(a² – b²)x = ac – bc – b

(a² – b²)x = c(a-b) – b

x = \frac{c(a-b)-b}{ a^{2} - b^{2} }

समीकरण (1) में x =  \frac{c(a-b)-b}{ a^{2} - b^{2} } रखने पर

a [ \frac{c(a-b)-b}{ a^{2} - b^{2} } ] + by = c

\frac{ac(a-b)-ab}{ a^{2} - b^{2} } + by = c

by = c – \frac{ac(a-b)-ab}{ a^{2} - b^{2} }

by =\frac{c( a^{2} - b^{2} )-ac(a-b)+ab}{a^{2} - b^{2}}

by = \frac{c a^{2}-c b^{2} -c a^{2}+abc+ab }{a^{2} - b^{2}}

by = \frac{-c b^{2}+abc+ab }{a^{2} - b^{2}}

by = \frac{b(-cb+ac+a) }{a^{2} - b^{2}}

y = \frac{b(-cb+ac+a) }{b(a^{2} - b^{2})}

y = \frac{-cb+ac+a }{a^{2} - b^{2}}

y = \frac{c(-b+a)+a}{a^{2} - b^{2}}

y = \frac{c(a-b)+a}{a^{2} - b^{2}}

अत: हल x = \frac{c(a-b)-b}{ a^{2} - b^{2} } , y = \frac{c(a-b)+a}{a^{2} - b^{2}}

(iii) \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 ………… (1)

   ax + by = a² + b² ……….. (2)

हल:- समीकरण (1) से \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0

\frac{x}{a} = \frac{y}{b}

x = \frac{ay}{b} ……………… (3)

x का यह मान समीकरण (2) में रखने पर

a(\frac{ay}{b}) + by = a² + b²

\frac{ a^{2} y }{b} + by = a² + b²

y[\frac{a^{2} }{b} +b] = a² + b²

y[ \frac{a^{2}+ b^{2} }{b} ] = a² + b²

y = \frac{b( a^{2} + b^{2} )}{ a^{2} + b^{2}}

y = b

समीकरण (3) में y = b रखने पर

x =  \frac{a(b)}{b}

x = a

अत: हल x = a, y = b

(iv) (a-b)x + (a+b)y = a² – 2ab – b² …………. (1)

   (a+b)(x+y) = a²+ b² ………………… (2)

हल :-  समीकरण (1) में से (2) घटाने पर

[(a-b)x + (a+b)y] – [(a+b)(x+y)] = a² – 2ab – b² – (a²+ b²)

(a-b)x – (a+b)x = -2ab – 2b²

x[(a-b) – (a+b)] = -2b(a+b)

x(-2b) = -2b(a+b)

x = a+b

समीकरण (1) में x = a+b रखने पर

(a-b)(a+b) + (a+b)y = a² -2ab – b²

a² – b² + (a+b)y = a² -2ab – b²

(a+b)y = -2ab

y = \frac{-2ab}{a+b}

अत: हल x = a+b , y = \frac{-2ab}{a+b}

(v) 152x – 378y = -74 ……….. (1)

    -378x + 152y = -604 ……… (2)

समीकरण (1) व (2) जोड़ने पर

(152x – 378y) + (-378x + 152y) = -74 -604

-226x -226y = -678

-226(x+y) = -226 x 3

x+y = 3 …………… (3)

समीकरण (1) में से (2) घटाने पर

(152x – 378y) – (-378x + 152y) = -74 +604

530x – 530y = 530

530(x-y) = 530

x-y = 1 …………….. (4)

समीकरण (3) व (4) जोड़ने पर

(x+y) + (x-y) = 3+1

2x = 4

x = 2

समीकरण (3) में से (4) घटाने पर

(x+y) – (x-y) = 3-1

2y = 2

y = 1

अत: हल x = 2, y = 1

प्रश्‍न 8. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति 3.7) । इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए ।

हल :- हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के आमने सामने कोणों का योग 180⁰ होता है ।

अत: LA + LC = 180 अर्थात (4y+20) + (-4x) = 180

-4x+4y+20 = 180

दोनों पक्षों में 4 का भाग करने पर

-x + y + 5 = 45

y = 40 + x ……………. (1)

तथा LB + LD = 180 अर्थात (3y-5) + (-7x+5) = 180

-7x+3y = 180 …………… (2)

समीकरण (1) से y = 40+x रखने पर

-7x + 3(40+x) = 180

-7x + 120 + 3x = 180

-4x = 60

x = \frac{-60}{4}

x = -15

x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर

y = 40 -15

y = 25

अत: LA = 4y+20 = 4×25+20 = 120⁰

    LB = 3y-5 = 3×25 – 5 = 70⁰

    LC = -4x = -4 x -15 = 60⁰

    LD = -7x+5 = -7x-15 + 5 = 110⁰

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CLASS10-MATHS-EXERCISE-3.7

कक्षा 10 गणित समाधान

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