प्रश्नावली 6.2 कक्षा 10 गणित समाधान | Class 10 maths exercise 6.2 solutions in hindi | Ncert solutions for class 10 maths exercise 6.2 | Exercise 6.2 class 10 Maths | कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 6.2 | Ncert class 10 maths solutions exercise 6.2 | ex 6.2 class 10 maths solutions in hindi
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय :– यदि निम्न आकृति के अनुसार व समरूप हैं तो
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} होता है ।
प्रश्नावली 6.2 कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान
प्रश्न 1. आकृति 6.17 में (i) और (ii) में DE II BC हैं। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए ।
हल :- (i) AD = 1.5 cm, AE = 1 cm
DB = 3 cm, EC = ?
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\\ \frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC}1.5 X EC = 3 X 1
EC = \frac{3}{1.5}
EC = \frac{30}{15}
EC = 2 cm
(ii) AD = ?, AE = 1.8 cm
DB = 7.2 cm, EC = 5.4 cm
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\\ \frac{AD}{7.2} = \frac{1.8}{5.4}\\AD = \frac{1.8}{5.4}x 7.2
AD = 2.4 cm
प्रश्न 2. किसी \Delta PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिंदु E और F स्थित है । निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF II PQ हैं ?
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल :- (i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
अत: EF, QR के समान्तर नहीं है ।
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
\frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}\\ \frac{PF}{FR} = \frac{8}{9}\\ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}अत: EF, QR के समान्तर है ।
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
PE = 0.18 cm
EQ = PQ – PE = 1.28 – 0.18 = 1.1 cm
PF = 0.36 cm
FR = PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.2 cm
\frac{PE}{EQ} = \frac{0.18}{1.1}\\ \frac{PF}{FR} = \frac{0.36}{2.2} = \frac{0.18}{1.1}\\ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}अत: EF, QR के समान्तर है ।
प्रश्न 3. आकृति 6.18 में यदि LM II CB और LN II CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\frac{AM}{MB}= \frac{AN}{AD}} है ।
हल :- दिया है – LM II CB व LN II CD
सिद्ध करना – \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{AD}
उपपत्ति :- \Delta ABC में यदि LM II CB है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AM}{MB} = \frac{AL}{LC}\\\frac{AM}{AB-AM} = \frac{AL}{LC} ………..(i) [ क्योंकि MB = AB – AM ]
\Delta ABC में यदि LN II CD है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AN}{ND} = \frac{AL}{LC}\frac{AN}{AD-AN} = \frac{AL}{LC} ………..(ii) [ क्योंकि ND = AD – AN ]
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{AM}{AB-AM} = \frac{AN}{AD-AN}\frac{AB - AM}{AM} = \frac{AD - AN}{AN} [पलटने पर]
\frac{AB}{AM} - 1 = \frac{AD}{AN} - 1 \frac{AB}{AM} = \frac{AD}{AN}या \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} [पलटने पर] इतिसिद्धम
प्रश्न 4. आकृति 6.19 में DE II AC और DF II AE है । सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}} है ।
हल :- दिया है – DE II AC व DF II AE
सिद्ध करना है – \frac{BF}{FE} = {BE}{EC}
उपपत्ति :- \Delta ABC में यदि DE II AC है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} ………..(i)
\Delta ABC में यदि DF II AE है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{BE}{EC} = \frac{BF}{FE} इतिसिद्धम
प्रश्न 5. आकृति 6.20 में क्रमश: DE II OQ और DF II OR हैं तो दर्शाइए कि EF II QR हैं |
हल :- दिया है – DE II OQ तथा DF II OR
सिद्ध करना है – EF II QR
उपपत्ति :- \Delta PQO में यदि DE II OQ है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO} ………..(i)
\Delta PRO में यदि DF II OR है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO} ………..(i)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर
\Delta PQR में EF, QR के समान्तर है अर्थात EF II QR
प्रश्न 6. आकृति 6.21 में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB II PQ और AC II PR हैं । दर्शाइए कि BC II QR हैं ।
हल :- दिया है – AB II PQ और AC II PR हैं ।
सिद्ध करना है – BC II QR
उपपत्ति :- \Delta PQO में यदि AB II PQ है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} ………..(i)
\Delta PRO में यदि AC II PR है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR}अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर \Delta OQR में BC, QR के समान्तर है अर्थात BC II QR
प्रश्न 7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है । (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं )।
हल :- दिया है – D, AB का मध्य बिन्दु है अर्थात AD = DB
तथा DF II BC
सिद्ध करना है – E, AC का मध्य-बिन्दु है अर्थात AE = EC
उपपत्ति :- यदि DE II BC है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\frac{AD}{AD} = \frac{AE}{EC} [ क्योंकि AD = DB ]
1 = \frac{AE}{EC}
AE = EC अत: E, AC का मध्य–बिन्दु है ।
प्रश्न 8. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं )।
हल :- दिया है – D, AB का मध्य बिन्दु है
तथा E, AC का मध्य बिन्दु है ।
सिद्ध करना है – DE II BC
उपपत्ति :- यदि D, AB का मध्य बिन्दु है तो
AD = DB
या \frac{AD}{DB} = 1 ………..(i)
यदि E, AC का मध्य बिन्दु है तो
AE = EC
या \frac{AE}{EC} = 1 ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर में DE, BC के समान्तर है अर्थात DE II BC
प्रश्न 9. ABCD एक समलंब है जिसमें AB II DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं । दर्शाइए कि \mathbf{\frac{AO}{BO} =\frac{CO}{DO}} है ।
हल :- दिया है – AB II CD तथा
विकर्ण AC व BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं ।
सिद्ध करना है – \mathbf{\frac{AO}{BO} =\frac{CO}{DO}}
रचना :- CD के समान्तर OE खींचने पर
उपपत्ति :- \Delta ABC में यदि OE II CD व CD II AB तो OE II AB होगा अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{AO}{CO} = \frac{BE}{EC} ………..(i)
\Delta BCD में यदि OE II CD व CD II AB तो OE II CD होगा अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{BO}{DO} = \frac{BE}{EC} ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO}AO X DO = BO X CO
\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} इतिसिद्धम
प्रश्न 10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं कि \mathbf{\frac{AO}{BO} =\frac{CO}{DO}} है । दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है ।
हल :- दिया है – \mathbf{\frac{AO}{BO} =\frac{CO}{DO}}
तथा विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं ।
सिद्ध करना है – ABCD एक समलंब चतुर्भुज है
रचना :- CD के समान्तर OE खींचने पर
उपपत्ति :- \Delta BCD में यदि OE II CD है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\frac{BO}{DO} = \frac{BE}{EC} ………..(i)
तथा \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} [ दिया हुआ है ]
AO X DO = BO X CO
\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} ……………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{AO}{CO} = \frac{BE}{EC}अत: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर
\Delta ABC में OE, AB के समान्तर है अर्थात OE II AB
क्योंकि OE II DC तथा OE II AB है
इसलिए AB II CD होगा
हम जानते हैं कि ऐसा चतुर्भुज जिसमें भुजाओं का एक युग्म समान्तर हो, समलंब कहलाता है
अत: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है ।
प्रश्नावली 6.2 कक्षा 10 गणित समाधान in Pdf
Class-10-Maths-exercise-6.2-solutionsप्रश्नावली 6.2 कक्षा 10 गणित समाधान में किस प्रमेय का प्रयोग हुआ है ?
प्रश्नावली 6.2 कक्षा 10 गणित में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग हुआ है ।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय क्या है ?
त्रिभुज ABC यदि समरूप है तथा भुजा DE, BC के समान्तर है तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} होता है ।
प्रश्नावली 6.1 कक्षा 10 गणित समाधान यहॉं देखें
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