NCERT Class 10 Maths Exercise 1.1 का हल उपलब्ध है । वास्तविक संख्याओं या पूर्णाकों का HCF एवं LCM ज्ञात करने के लिए हमें संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करने होंगे ।
दो संख्याओं (युग्म) का HCF एवं LCM ज्ञात करने के लिए हम निम्न सुत्र का उपयोग करेंगे ।
दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.1 समाधान
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए ।
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
हल :- (i) 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 22 x 5 x 7
(ii) 156 = 2 x 2 x 3 x 13 = 22 x 3 x 13
(iii) 3825 = 3 x 3 x 5 x 5 x 17 = 32 x 52 x 17
(iv) 5005 = 5 x 7 x 11 x 13
(v) 7429 = 17 x 19 x 23
प्रश्न 2. पूर्णाकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जांच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM है ।
(i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54
हल :- (i) 26 और 91
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 26 = 2 x 13 तथा 91 = 7 x 13
HCF = 13 तथा LCM = 2 x 7 x 13 = 182
जांच :- दो संख्याओं का गुणनफल = 26 x 91 = 2366
HCF x LCM = 13 x 182 = 2366 अत: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM
(ii) 510 और 92
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 510 = 2 x 3 x 5 x 17 तथा 92 = 2 x 2 x 23
HCF = 2 तथा LCM = 2 x 2 x 3 x 5 x 17 x 23 = 23460
जांच :- दो संख्याओं का गुणनफल = 510 x 92 = 46920
HCF x LCM = 2 x 23460 = 46920
अत: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM
(iii) 336 और 54
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 336 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 7 तथा 54 = 2 x 3 x 3 x 3
HCF = 2 x 3 = 6 तथा LCM = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 3024
जांच :- दो संख्याओं का गुणनफल = 336 x 54 = 18144
HCF x LCM = 6 x 3024 = 18144
अत: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM
प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णाकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए |
(i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8,9 और 25
हल :- (i) 12, 15 और 21
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 12 = 2 x 2 x 3, 15 = 3 x 5 तथा 21 = 3 x 7
HCF = 3 तथा LCM = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 420
(ii) 17, 23 और 29
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 17 = 1 x 17, 23 = 1 x 23 तथा 29 = 1 x 29
HCF = 1 तथा LCM = 17 x 23 x 29 = 11339
(iii) 8, 9 और 25
अभाज्य गुणनखण्ड करने पर 8 = 2 x 2 x 2, 9 = 3 x 3 तथा 25 = 5 x 5
HCF = 1 तथा LCM = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 1800
प्रश्न 4. HCF (306, 657) = 9 दिया है । LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए ।
हल :- पहली संख्या = 306 तथा दूसरी संख्या = 657
HCF (306, 657) = 9
हम जानते हैं कि – दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM
LCM = दो संख्याओं का गुणनफल / HCF
LCM = 306 × 657 / 9 = 22338
अत: LCM (306, 657) = 22338
प्रश्न 5. जांच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है ।
हल :- यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है तो वह हमेशा 10 से विभाजित होती है ।
क्योंकी 10 = 2 x 5 इसलिए किसी भी संख्या के शुन्य पर समाप्त होने के लिए उसके अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 होना आवश्यक है ।
जबकि 6n = (2×3)n अर्थात 2 और 3 अभाज्य गुणनखण्ड होंगे ।
6n के अभाज्य गुणनखण्ड में 5 नहीं है इसलिए यह 10 से विभाजित नहीं है ।
अत: किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है ।
प्रश्न 6. व्याख्या कीजिए कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्याएं क्यों हैं ?
हल :- संख्या = 7 x 11 x 13 + 13
= 13 (7×11+1)
= 13 x 78
= 13x13x6
यह संख्या 13 और 6 से विभाजित है इसलिए भाज्य संख्या है ।
इसी प्रकार संख्या = 7x6x5x4x3x2x1 + 5
= 5 (7x6x4x3x2x1 + 1)
= 5 (1008+1)
= 5 x 1009
यह संख्या 5 और 1009 से विभाजित है इसलिए भाज्य संख्या है ।
प्रश्न 7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृताकार पथ है । इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं । मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं । कितने समय बाद वे पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :- पुन: प्रारंभिक स्थान पर मिलने का समय निकालने के लिए हम LCM ज्ञात करेंगे ।
18 = 2 x 3 x 3 तथा 12 = 2 x 2 x 3
12 और 18 का LCM = 2 x 2 x 3 x 3 = 36
अत: रवि और सोनिया 36 मिनट बाद दोनों अपने प्रारंभ स्थान पर मिलेंगे |
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