प्रश्‍नावली 2.2 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | NCERT Class 10 Maths Exercise 2.2 solutions in hindi

इस पेज पर NCERT Class 10 Math Exercise 2.2 का हल उपलब्‍ध है । इस प्रश्‍नावली में हम बहुपद के शुन्‍यकों एवं गुणाकों में सम्‍बन्‍ध ज्ञात करेंगे । हम रैखिक बहुपद एवं द्विघात बहुपद के शुन्‍यकों एवं गुणाकों में सम्‍बन्‍ध ज्ञात करेंगे ।

रैखिक बहुपद के शुन्‍यकों एवं गुणाकों में सम्‍बन्‍ध – रैखिक बहुपद ax+b का शुन्‍यक =  \frac{-b}{a} = \frac{-अचर पद }{x का गुणांक } 

द्विघात बहुपद के शुन्‍यकों एवं गुणाकों में सम्‍बन्‍ध – यदि द्विघात बहुपद p(x) = ax²+bx+c के शुन्‍यक α व β हैं तो

शुन्‍यकों का योग (α + β) =    \frac{-b}{a} = \frac{-x का गुणांक }{ x^{2} का गुणांक }

शुन्‍यकों का गुणनफल (αβ)  =   \frac{c}{a} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक }

यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक दिए हों तो बहुपद ज्ञात करना – यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

बहुपद p(x) = x² – (α + β)x + αβ

कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 2.2 समाधान

प्रश्‍न 1. निम्‍न द्विघात बहुपदों के शुन्‍यक ज्ञात कीजिए और शुन्‍यकों तथा गुणांको के बीच संबंध की सत्‍यता की जांच कीजिए ।

(i) x²-2x-8   (ii) 4s²-4s+1 (iii) 6x²-3-7x    (iv) 4u²+8u (v) t²-15  (vi) 3x²-x-4

हल :- (i) x²-2x-8

       x²-4x+2x-8

       x(x-4) +2(x-4)

       (x-4)(x+2)

       x = 4, -2

शुन्‍यक = 4, -2

शुन्‍यकों का योग = 4-2 = 2 =  \frac{-(-2)}{1} = \frac{-x का गुणांक }{ x^{2} का गुणांक }

शुन्‍यकों का गुणनफल = 4 x -2 = \frac{-8}{1} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक }

(ii) 4s²-4s+1

 (2s-1)²

(2s-1)(2s-1)

2s-1 = 0 या 2s-1 = 0

s =  \frac{1}{2} , \frac{1}{2}

शुन्‍यक = \frac{1}{2} , \frac{1}{2}

शुन्‍यकों का योग =  \frac{1}{2} + \frac{1}{2}  = 1 =  \frac{-(-4)}{4} = \frac{-x का गुणांक}{ x^{2} का गुणांक}

शुन्‍यकों का गुणनफल =  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{अचर पद}{ x^{2} का गुणांक} 

(iii) 6x²-3-7x

6x²-7x-3

6x²-9x+2x-3

3x(2x-3) +1(2x-3)

(2x-3)(3x+1)

2x-3 = 0 या 3x+1 = 0

2x=3 या 3x = -1

x =  \frac{3}{2} , \frac{-1}{3}

शुन्‍यक =   \frac{3}{2} , \frac{-1}{3}

शुन्‍यकों का योग =  \frac{3}{2} - \frac{1}{3}= \frac{9-2}{6} = \frac{7}{6} = \frac{-(-7)}{6} = \frac{-xका गुणांक}{ x^{2} का गुणांक}

शुन्‍यकों का गुणनफल =  \frac{3}{2} \times \frac{-1}{3} = \frac{-1}{2} = \frac{-3}{6} = \frac{अचर पद }{ x^{2}का गुणांक }

(iv) 4u²+8u

4u(u+2)

4u = 0 या u+2 = 0

u = 0 याu = -2

शुन्‍यक = 0, -2

शुन्‍यकों का योग = 0 – 2 = -2 =  \frac{-8}{4} = \frac{-xका गुणांक }{ x^{2}का गुणांक}

शुन्‍यकों का गुणनफल = 0 x -2 = 0 =  \frac{0}{4} = \frac{अचर पद }{ x^{2}का गुणांक}

(v) t²-15

(t+\sqrt{15})(t- \sqrt{15})

t = \sqrt{15},-\sqrt{15}

शुन्‍यक = \sqrt{15},-\sqrt{15}

शुन्‍यकों का योग =  \sqrt{15}-\sqrt{15}= 0 = \frac{-xका गुणांक}{ x^{2}का गुणांक }

शुन्‍यकों का गुणनफल =  \sqrt{15} \times \sqrt{15}= -15 = \frac{अचर पद}{ x^{2}का गुणांक }

(vi) 3x²-x-4

3x²+3x-4x-4

3x(x+1) -4(x+1)

(3x-4)(x+1)

3x-4 = 0 या x+1 = 0

x =   \frac{4}{3} , -1

शुन्‍यक =  \frac{4}{3} , -1

शुन्‍यकों का योग =  \frac{4}{3} -1= \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{-x का गुणांक}{ x^{2} का गुणांक }

शुन्‍यकों का गुणनफल =  \frac{4}{3 } \times -1 = \frac{-4}{3} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक }

प्रश्‍न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शुन्‍यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्‍याएं हैं ।

(i) \frac{1}{4},-1 (ii) \sqrt{2} , \frac{1}{3} (iii) 0, \sqrt{5} (iv) 1,1 (v) \frac{-1}{4}, \frac{1}{4} (vi) 4,1

हल :- (i)  \frac{1}{4},-1

       यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

      α + β =  \frac{1}{4} = \frac{-b}{a}

    αβ  =  -1 = \frac{-4}{4} = \frac{c}{a}

          a = 4, b = -1 तथा c = – 4

वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । 4x²-x-4 है ।

(ii) \sqrt{2} , \frac{1}{3}

यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

   α + β = \sqrt{2} = \frac{ 3\sqrt{2} }{3} = \frac{-b}{a}

   αβ   = \frac{1}{3} = \frac{c}{a}

     a = 3, b = -3 √2 तथा c = 1

वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । 3x²-3√2 x+1 है ।

(iii) 0, \sqrt{5}

   यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

   α + β =  o = \frac{-b}{a}

   αβ   =  \sqrt{5} = \frac{c}{a}

     a = 1, b = 0 तथा c = \sqrt{5}

वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । x^{2} + \sqrt{5}  है ।

(iv) 1, 1

यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

      α + β = 1 =  \frac{-b}{a}

    αβ  =  1  =   \frac{c}{a}

          a = 1, b = -1 तथा c = 1

वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । x²-x+1 है ।

(v)  \frac{-1}{4}, \frac{1}{4}

यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

   α + β =  \frac{-1}{4} = \frac{-b}{a}

    αβ   =   \frac{1}{4} = \frac{c}{a}

     a = 4, b = 1 तथा c = 1

वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । 4x²+x+1 है ।

  (vi) 4, 1

यदि द्विघात बहुपद के शुन्‍यक α व β हैं तो

      α + β = 4 =  \frac{-b}{a}

    αβ  =  1  =  \frac{c}{a}

          a = 1, b = -4 तथा c = 1 वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्‍ट होती है । x²-4x+1 है ।

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