इस पेज पर NCERT Class 10 Math Exercise 2.2 का हल उपलब्ध है । इस प्रश्नावली में हम बहुपद के शुन्यकों एवं गुणाकों में सम्बन्ध ज्ञात करेंगे । हम रैखिक बहुपद एवं द्विघात बहुपद के शुन्यकों एवं गुणाकों में सम्बन्ध ज्ञात करेंगे ।
रैखिक बहुपद के शुन्यकों एवं गुणाकों में सम्बन्ध − b a = − अचरपद x कागुणांक \frac{-b}{a} = \frac{-अचर पद }{x का गुणांक } a − b = x कागुणांक − अचरपद
द्विघात बहुपद के शुन्यकों एवं गुणाकों में सम्बन्ध 2 +bx+c के शुन्यक α व β हैं तो
शुन्यकों का योग (α + β) = − b a = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{-b}{a} = \frac{-x का गुणांक }{ x^{2} का गुणांक } a − b = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल (αβ) = c a = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{c}{a} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक } a c = x 2 कागुणांक अचरपद
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक दिए हों तो बहुपद ज्ञात करना
बहुपद p(x) = x2 – (α + β)x + αβ
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 2.2 समाधान प्रश्न 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शुन्यक ज्ञात कीजिए और शुन्यकों तथा गुणांको के बीच संबंध की सत्यता की जांच कीजिए ।
(i) x2 -2x-8 (ii) 4s2 -4s+1 (iii) 6x2 -3-7x (iv) 4u2 +8u (v) t2 -15 (vi) 3x2 -x-4
हल :- (i) x2 -2x-8
x2 -4x+2x-8
x(x-4) +2(x-4)
(x-4)(x+2)
x = 4, -2
शुन्यक = 4, -2
शुन्यकों का योग = 4-2 = 2 = − ( − 2 ) 1 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{-(-2)}{1} = \frac{-x का गुणांक }{ x^{2} का गुणांक } 1 − ( − 2 ) = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 4 x -2 = − 8 1 = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{-8}{1} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक } 1 − 8 = x 2 कागुणांक अचरपद
(ii) 4s2 -4s+1
(2s-1)2
(2s-1)(2s-1)
2s-1 = 0 या 2s-1 = 0
s = 1 2 , 1 2 \frac{1}{2} , \frac{1}{2} 2 1 , 2 1
शुन्यक = 1 2 , 1 2 \frac{1}{2} , \frac{1}{2} 2 1 , 2 1
शुन्यकों का योग = 1 2 + 1 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} 2 1 + 2 1 − ( − 4 ) 4 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{-(-4)}{4} = \frac{-x का गुणांक}{ x^{2} का गुणांक} 4 − ( − 4 ) = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 1 2 × 1 2 = 1 4 = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{अचर पद}{ x^{2} का गुणांक} 2 1 × 2 1 = 4 1 = x 2 कागुणांक अचरपद
(iii) 6x2 -3-7x
6x2 -7x-3
6x2 -9x+2x-3
3x(2x-3) +1(2x-3)
(2x-3)(3x+1)
2x-3 = 0 या 3x+1 = 0
2x=3 या 3x = -1
x = 3 2 , − 1 3 \frac{3}{2} , \frac{-1}{3} 2 3 , 3 − 1
शुन्यक = 3 2 , − 1 3 \frac{3}{2} , \frac{-1}{3} 2 3 , 3 − 1
शुन्यकों का योग = 3 2 − 1 3 = 9 − 2 6 = 7 6 = − ( − 7 ) 6 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{3}{2} - \frac{1}{3}= \frac{9-2}{6} = \frac{7}{6} = \frac{-(-7)}{6} = \frac{-xका गुणांक}{ x^{2} का गुणांक} 2 3 − 3 1 = 6 9 − 2 = 6 7 = 6 − ( − 7 ) = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 3 2 × − 1 3 = − 1 2 = − 3 6 = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{3}{2} \times \frac{-1}{3} = \frac{-1}{2} = \frac{-3}{6} = \frac{अचर पद }{ x^{2}का गुणांक } 2 3 × 3 − 1 = 2 − 1 = 6 − 3 = x 2 कागुणांक अचरपद
(iv) 4u2 +8u
4u(u+2)
4u = 0 या u+2 = 0
u = 0 याu = -2
शुन्यक = 0, -2
शुन्यकों का योग = 0 – 2 = -2 = − 8 4 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{-8}{4} = \frac{-xका गुणांक }{ x^{2}का गुणांक} 4 − 8 = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 0 x -2 = 0 = 0 4 = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{0}{4} = \frac{अचर पद }{ x^{2}का गुणांक} 4 0 = x 2 कागुणांक अचरपद
(v) t2 -15
( t + 15 ) ( t − 15 ) (t+\sqrt{15})(t- \sqrt{15}) ( t + 15 ) ( t − 15 ) t = 15 , − 15 \sqrt{15},-\sqrt{15} 15 , − 15
शुन्यक = 15 , − 15 \sqrt{15},-\sqrt{15} 15 , − 15
शुन्यकों का योग = 15 − 15 = 0 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \sqrt{15}-\sqrt{15}= 0 = \frac{-xका गुणांक}{ x^{2}का गुणांक } 15 − 15 = 0 = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 15 × 15 = − 15 = अचरपद x 2 कागुणांक \sqrt{15} \times \sqrt{15}= -15 = \frac{अचर पद}{ x^{2}का गुणांक } 15 × 15 = − 15 = x 2 कागुणांक अचरपद
(vi) 3x2 -x-4
3x2 +3x-4x-4
3x(x+1) -4(x+1)
(3x-4)(x+1)
3x-4 = 0 या x+1 = 0
x = 4 3 , − 1 \frac{4}{3} , -1 3 4 , − 1
शुन्यक = 4 3 , − 1 \frac{4}{3} , -1 3 4 , − 1
शुन्यकों का योग = 4 3 − 1 = 4 − 3 3 = 1 3 = − ( − 1 ) 3 = − x कागुणांक x 2 कागुणांक \frac{4}{3} -1= \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{-x का गुणांक}{ x^{2} का गुणांक } 3 4 − 1 = 3 4 − 3 = 3 1 = 3 − ( − 1 ) = x 2 कागुणांक − x कागुणांक
शुन्यकों का गुणनफल = 4 3 × − 1 = − 4 3 = अचरपद x 2 कागुणांक \frac{4}{3 } \times -1 = \frac{-4}{3} = \frac{अचर पद }{ x^{2} का गुणांक } 3 4 × − 1 = 3 − 4 = x 2 कागुणांक अचरपद
प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शुन्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएं हैं ।
( i ) 1 4 , − 1 ( i i ) 2 , 1 3 ( i i i ) 0 , 5 ( i v ) 1 , 1 ( v ) − 1 4 , 1 4 ( v i ) 4 , 1 (i) \frac{1}{4},-1 (ii) \sqrt{2} , \frac{1}{3} (iii) 0, \sqrt{5} (iv) 1,1 (v) \frac{-1}{4}, \frac{1}{4} (vi) 4,1 ( i ) 4 1 , − 1 ( ii ) 2 , 3 1 ( iii ) 0 , 5 ( i v ) 1 , 1 ( v ) 4 − 1 , 4 1 ( v i ) 4 , 1
हल :- (i) 1 4 , − 1 \frac{1}{4},-1 4 1 , − 1
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = 1 4 = − b a \frac{1}{4} = \frac{-b}{a} 4 1 = a − b
αβ = − 1 = − 4 4 = c a -1 = \frac{-4}{4} = \frac{c}{a} − 1 = 4 − 4 = a c
a = 4, b = -1 तथा c = – 4
वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । 4x2 -x-4 है ।
(ii) 2 , 1 3 \sqrt{2} , \frac{1}{3} 2 , 3 1
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = 2 = 3 2 3 = − b a \sqrt{2} = \frac{ 3\sqrt{2} }{3} = \frac{-b}{a} 2 = 3 3 2 = a − b
αβ = 1 3 = c a \frac{1}{3} = \frac{c}{a} 3 1 = a c
a = 3, b = -3 √2 तथा c = 1
वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । 3x2 -3√2 x+1 है ।
(iii) 0, 5 \sqrt{5} 5
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = o = − b a o = \frac{-b}{a} o = a − b
αβ = 5 = c a \sqrt{5} = \frac{c}{a} 5 = a c
a = 1, b = 0 तथा c = 5 \sqrt{5} 5
वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । x 2 + 5 x^{2} + \sqrt{5} x 2 + 5
(iv) 1, 1
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = 1 = − b a \frac{-b}{a} a − b
αβ = 1 = c a \frac{c}{a} a c
a = 1, b = -1 तथा c = 1
वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । x2 -x+1 है ।
(v) − 1 4 , 1 4 \frac{-1}{4}, \frac{1}{4} 4 − 1 , 4 1
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = − 1 4 = − b a \frac{-1}{4} = \frac{-b}{a} 4 − 1 = a − b
αβ = 1 4 = c a \frac{1}{4} = \frac{c}{a} 4 1 = a c
a = 4, b = 1 तथा c = 1
वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । 4x2 +x+1 है ।
(vi) 4, 1
यदि द्विघात बहुपद के शुन्यक α व β हैं तो
α + β = 4 = − b a \frac{-b}{a} a − b
αβ = 1 = c a \frac{c}{a} a c
a = 1, b = -4 तथा c = 1 वह द्विघात बहुपद, जिनमें दी गई शर्तें संतुष्ट होती है । x2 -4x+1 है ।
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