प्रश्‍नावली 3.4 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | NCERT Exercise 3.4 class 10 maths solutions in hindi

NCERT Exercise 3.4 class 10 maths में हम रैखिक समीकरण युग्‍म को विलोपन विधि (बीजगणितीय विधि) से हल ज्ञात करेंगे ।

विलोपन विधि : इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं – माना निम्‍न रैखिक समी‍करण युग्‍म है

2x+3y = 8 ……………………………. (i)

4x – 6y = 16 ………………………………… (ii)

step (i) सर्वप्रथम हम किसी एक चर के गुणांको को समान बनाते हैं । y के गुणांको को समान करने के लिए समीकरण (i) को 2 से गुणा कीजिए । तब हम निम्‍नलिखित समीकरण प्राप्‍त करते हैं ।

  4x + 6y = 16 ……………………… (iii)

step (ii) उसके बाद समान गुणांक वाले चर को विलुप्‍त करते हैं । अत: y को विलुप्‍त करने के लिए समी‍करण (ii) व समीकरण (iii) को जोड़ते हैं ।

        (4x-6y) + (4x+6y) = 16+16

  8x = 32

 x =  \frac{32}{8}

 x = 4

step (iii) x का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्‍थापित करने पर

       2(4) + 3y = 8

       8+3y = 8

       3y = 8 – 8

       3y = 0

       y = 0

अत: हल x = 4, y = 0

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 3.4 समाधान

प्रश्‍न 1. निम्‍न समीकरणों के युग्‍म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्‍थापन विधि से हल कीजिए । कौन सी विधि अधिक उपयुक्‍त है ?

(i) x+y = 5 और 2x-3y = 4

(ii) 3x+4y = 10 और 2x-2y = 2

(iii) 3x-5y-4 = 0 और 9x = 2y+7

(iv) \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} =-1 और x - \frac{y}{3} = 3

हल :- (i) विलोपन विधि –

x+y = 5 ……………. (i)

2x-3y = 4 ………………. (ii)

y के गुणांक समान बनाने के‍ लिए समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर

3x+3y = 15 ………………… (iii)

y को विलुप्‍त करने के लिए समीकरण (ii) व (iii) को जोड़ने पर

(2x-3y) + (3x+3y) = 4+15

5x = 19

x =  \frac{19}{5}

x का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्‍थापित करने पर

(\frac{19}{5})  + y = 5

y = 5 – \frac{19}{5} = \frac{25-19}{5}  = \frac{6}{5}

y =   \frac{6}{5}

अत: हल x = \frac{19}{5} ,  y =  \frac{6}{5}

प्रतिस्‍थापन विधि –

समीकरण (i) से

x+y = 5

y = 5 – x ………………… (iii)

y का मान समीकरण (ii) में रखने पर

2x – 3(5-x) = 4

2x – 15 – 3x = 4

5x = 4+15

x =  \frac{19}{5}

x का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्‍थापित करने पर

y = 5 – \frac{19}{5} = \frac{25-19}{5}  = \frac{6}{5}

y =  \frac{6}{5}

अत: हल x = \frac{19}{5} ,  y =  \frac{6}{5}

विलोपन विधि अधिक उपयुक्‍त है ।

(ii)  विलोपन विधि –

3x+4y = 10…………… (i)

2x – 2y = 2 ……… (ii)

y के गुणांक समान बनाने के‍ लिए समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर

4x – 4y = 4 ……………. (iii)

y को विलुप्‍त करने के लिए समीकरण (ii) व (iii) को जोड़ने पर

(3x+4y) + (4x-4y) = 10+4

7x = 14

x = \frac{14}{7}

x = 2

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

3x+4y = 10

3(2) + 4y = 10

6 + 4y = 10

4y = 10 – 6

4y = 4

y = 1

अत: हल x = 1, y = 1

प्रतिस्‍थापन विधि –

समीकरण (ii) से

2x – 2y = 2

2x = 2+2y

2x = 2(1+y)

x = 1+y ………………. (iii)

x का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्‍थापित करने पर

3(1+y) + 4y = 10

3 + 3y + 4y = 10

7y = 10 – 3

7y = 7

y = 1

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = 1+y = 1+3

x = 4

अत: हल x = 1, y = 1

(iii) विलोपन विधि –

3x – 5y -4 = 0 …………. (i)

9x = 2y +7 ………………. (ii)

x के गुणांक समान बनाने के‍ लिए समीकरण (i) को 3 से गुणा करने पर

9x – 15y -12 = 0 ……………… (iii)

x को विलुप्‍त करने के लिए समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाने पर

(9x-15y-12) – 9x = 0 – (2y+7)

-15y – 12 = -2y +7

-15y + 2y = 12 – 7

-13y = 5

y =  \frac{-5}{13}

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

3x – 5(\frac{-5}{13})  – 4 = 0

3x + \frac{25}{13}  – 4 = 0

3x = 4 –  \frac{25}{13}

3x = \frac{52-25}{13}

3x = \frac{27}{13}

x =  \frac{27}{13 \times 3}

x = \frac{9}{13}

अत: हल x = \frac{9}{13} , y =  \frac{-5}{13}

प्रतिस्‍थापन विधि –

समीकरण (i) से

3x – 5y – 4 = 0

3x = 4+5y ………………. (iii)

x =  \frac{4x+5y}{3}

x का यह मान समीकरण (ii) में प्रतिस्‍थापित करने पर

9(\frac{4x+5y}{3} ) = 2y+7

3(4+5y) = 2y+7

12+15y = 2y+7

13y = -5

y =   \frac{-5}{13}

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

3x = 4 + 5( \frac{-5}{13})

3x = 4 –  \frac{25}{13}

3x =  \frac{27}{13}

x =  \frac{27}{13 \times 3}

x = \frac{9}{13}

अत: हल x = \frac{9}{13} , y =  \frac{-5}{13}

(iv) विलोपन विधि –

 \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} =-1 …………….. (i)

  x - \frac{y}{3} = 3  ………………… (ii)

x के गुणांक समान बनाने के‍ लिए समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर

2( \frac{x}{2} ) + \frac{4y}{3}  = -2

x +  \frac{4y}{3} = -2 ……………. (iii)

x को विलुप्‍त करने के लिए समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) घटाने पर

(x +\frac{4y}{3} ) – (x – \frac{y}{3} ) = -2 -3

   \frac{4y}{3} + \frac{y}{3} = -5

  \frac{4y+y}{3}  = -5

   \frac{5y}{3} = -5

y = \frac{-15}{5}

y = -3

y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

x – \frac{(-3)}{3} = 3

x + 1 = 3

x = 3 – 1

x = 2

अत: हल x = 2, y = -3

प्रतिस्‍थापन विधि –

समीकरण (ii) से

x – \frac{y}{3} = 3  

x -3 = \frac{y}{3}

3x – 9 = y …………….. (iii)

y का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्‍थापित करने पर

  \frac{x}{2} + \frac{2(3x-9)}{3} = -1

 \frac{x}{2} + \frac{6x-18}{3} = -1

   \frac{3x+2(6x-18)}{6} = -1

3x+12x-36 = -6

15x = 36 – 6

15x = 30

x = 2

x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

y = 3(2) – 9

y = 6 – 9

y = -3

अत: हल x = 2, y = -3

प्रश्‍न 2. निम्‍न समस्‍याओं में रैखिक समीकरणों के युग्‍म बनाईए और उनके हल ( यदि उनका अस्तित्‍व हो ) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए ।

(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्‍न 1 में बदल जाती है ।  यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह \frac{1}{2} हो जाती है । वह भिन्‍न क्‍या है ?

हल :- माना भिन्‍न का अंश x तथा हर y है तो

प्रश्‍नानुसार    \frac{अंश+1}{हर -1}  = 1

           \frac{x+1}{y -1}   = 1

             x+1 = y-1

x-y+2 = 0 …………….. (i)

       तथा    \frac{अंश}{हर+1} = \frac{1}{2}

        \frac{x}{y+1} = \frac{1}{2}

     2x = y+1

       2x-y+1 = 0  …………………… (ii)

y के गुणांक समान हैं अत:  y को विलोपित करने के लिए समीकरण (ii) में से समीकरण (i) घटाने पर

(2x-y-1) – (x-y+2) = 0

x-3 = 0

x = 3

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

3-y+2 = 0

5-y = 0

5 = y

अत: हल x = 3, y = 5

(ii) पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी । दस वर्ष पश्‍चात नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी । नूरी और सोनू की आयु कितनी है ?

हल :- माना नूरी की वर्तमान आयु x वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु y वर्ष है ।

तो प्रश्‍नानुसार  पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु = x-5

             पांच वर्ष पूर्व सोनू की आयु = y-5

       x-5 = 3(y-5)

x – 5 = 3y – 15

x – 3y +10 = 0 ………………. (i)

दस वर्ष पश्‍चात नूरी की आयु = x+10

दस वर्ष पश्‍चात सोनू की आयु = y+10

x+10 = 2(y+10)

x+10 = 2y+20

x-2y-10 = 0 ……………………. (ii)

x के गुणांक समान हैं अत:  x को विलोपित करने के लिए समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर

(x-3y+10) – (x-2y-10) = 0

-3y + 2y +10 +10 = 0

-y + 20 = 0

20 = y

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

x – 3(20) + 10 = 0

x – 60 + 10 = 0

x – 50 = 0

x = 50

अत: नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु 20 वर्ष है ।

(iii) दो अंकों की संख्‍या के अंकों का योग 9 है । इस संख्‍या का 9 गुना, संख्‍या के अंकों को पलटने से बनी संख्‍या का दो गुना है । वह संख्‍या ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना संख्‍या का इकाई का अंक x तथा दहाई का अंक y है तो

संख्‍या के अंको का योग = 9   

x+y = 9 ……………. (i)

हम जानते हैं कि यदि दो अंकों वाली संख्‍या का इकाई व दहाई का अंक दिया हो तो

 वह संख्‍या = दहाई का अंक x10 + इकाई का अंक x1

संख्‍या = y(10) + x

संख्‍या  = x+10y

संख्‍या के अंक पलटने पर इकाई व दहाई के अंक पलट जाएंगें तो इस प्रकार बनी

नई संख्‍या = x(10) + y

नई संख्‍या = 10x+y

प्रश्‍नानुसार     संख्‍या का 9 गुना = अंक पलटने पर बनी नई संख्‍या का 2 गुना

             9(x+10y) = 2(10x+y)

             9x+90y = 20x+2y

             90y – 2y = 20x – 9x

             88y = 11x

दोनों पक्षों में 11 का भाग देने पर

             8y = x …………… (ii)

समीकरण (ii) से x का मान समीकरण (i) में रखने पर

(8y) + y = 9

9y = 9

y = 1

y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

x = 8(1)

x = 8

अत: इकाई का अंक 8 व दहाई का अंक 1

और वह संख्‍या = 81

(iv) मीना रू 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई । उसने खंजाची से रू 50 तथा रू 100 के नोट देने के लिए कहा । मीना ने कुल 25 नोट प्राप्‍त किए तो ज्ञात कीजिए कि उसने रू 50 और रू 100 के कितने-कितने नोट प्राप्‍त किए ।

माना मीना ने रू 50 के x नोट तथा रू 100 के y नोट प्राप्‍त किए

नोटों की कुल संख्‍या = 25

x + y = 25 …………….. (i)

मीना ने बैंक से कुल रू निकाले = 2000 रू

50x + 100y = 2000 …………. (ii)    (क्‍योंकि 50 रू के नोटों की संख्‍या x तथा 100 रू के नोटों की संख्‍या y है)

x के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (i) को 50 से गुणा करने पर

50x+50y = 1250 …………. (iii)

x को विलोपित करने के लिए समीकरण (i) में से समीकरण (iii) घटाने पर

(50x+100y) – (50x+50y) = 2000 – 1250

50y = 750

y = \frac{750}{50}

y = 15

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

x + 15 = 25

x = 25 – 15

x = 10

अत: रू 50 के नोटों की संख्‍या 10 तथा रू 100 के नोटों की संख्‍या 15 है ।

(v) किराए पर पुस्‍तकें देने वाले किसी पुस्‍तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्‍येक अतिरिक्‍त दिन का अलग किराया है । सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्‍तक रखने के लिए रू 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्‍तक पांच दिनों तक रखने के लिए रू 21 अदा किए । नियत किराया तथा प्रत्‍येक अतिरिक्‍त दिन का किराया ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना पुस्‍तकालय का प्रथम तीन दिनों का नियत किराया x रू तथा प्रत्‍ये‍क अतिरिक्‍त दिन का किराया y रू है ।

सरिता ने 7 दिनों (नियत 3 दिन + 4 अतिरिक्‍त दिन) तक पुस्‍तक रखने के लिए रू अदा किए = 27

अर्थात x+4y = 27 ………………… (i)

सूसी ने 5 दिनों (नियत 3 दिन + 2 अतिरिक्‍त दिन) तक पुस्‍तक रखने के लिए रू अदा किए = 21

x+2y = 21 …………………….. (ii)

x के गुणांक समान हैं अत:  x को विलोपित करने के लिए समीकरण (i) में से समीकरण (ii) घटाने पर

(x+4y) – (x+2y) = 27 – 21

2y = 6

y = 3

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

x + 4(3) = 27

x + 12 = 27

x = 27 – 12

x = 15

अत: पुस्‍तकालय का नियत किराया 15 रू तथा प्रत्‍येक अतिरिक्‍त दिन का किराया 3 रू है ।

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