प्रश्‍नावली 6.3 कक्षा 10 गणित समाधान | exercise 6.3 Class 10 maths ncert solutions in hindi

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प्रश्‍नावली 6.3 कक्षा 10 गणित में हम त्रिभुजों की समानुपातिकता के लिए कसौटीयों के आधार पर त्रिभुजों को समरूप सिंद्ध करेंगे ।

त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटीयाँ :– दो‍ त्रिभुजों \Delta ABC व \Delta DEF का आपस में समरूप होने के लिए निम्‍न तीन कसौटयाँ हैं ।

1. AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में तीनों संगत कोण बराबर हों तो दोनों‍ त्रिभुज समरूप होंगे, इस कसौटी को AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी कहा जाता है ।

LA = LD, LB = LE तथा LC = LF तो  \Delta ABC\sim \Delta DEF

नोट – यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्‍य दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों तो त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180⁰ के आधार पर इनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे । इस कसौटी को निम्‍न प्रकार भी लिखा जाता है –

यदि एक त्रिभुज के दो कोण अन्‍य दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे इस कसौटी को AA समरूपता कसौटी कहा जाता है ।

2. SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में हों तो दोनों त्रिभुज आपस में समरूप होंगे, इस कसौटी को SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी कहा जाता है।

   \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{DF}  हो तो  \Delta ABC\sim \Delta DEF

3. SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में एक संगत कोण बराबर हो तथा दो संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे, इस कसौटी को SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी कहा जाता है ।

प्रश्‍नावली 6.3 कक्षा 10 गणित समाधान

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प्रश्‍न 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्‍मों में से कौन-कौन से युग्‍म समरूप हैं । उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्‍तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्‍यक्‍त कीजिए ।

हल :- 1(i) LA = LP = 60⁰

             LB = LQ = 80⁰

            LC = LR = 40⁰

तीनों संगत कोण बराबर हैं अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं अर्थात  \Delta ABC\sim \Delta PQR

(ii) AB = 2, PQ = 6

 BC = 2.5, QR = 4

AC = 3, PR = 5

\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\

\frac{BC}{PR} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}\\

\frac{AC}{PQ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\

\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{AC}{PQ}

तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में है अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज समरूप हैं । अत:  \Delta ABC\sim \Delta QRP

(iii) LM = 2.5, MP = 2, LP = 3

DE = 4, EF = 5, DF = 6

\frac{LM}{EF} = \frac{2.7}{5}\\

\frac{MP}{DE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\

\frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\

 तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में नहीं हैं अत: दोनों त्रिभुज आपस में समरूप नहीं हैं ।

(iv) LM = 70⁰, MN = 2.5, ML = 5

LQ = 70⁰, PQ = 5, QR = 10

LM = LQ = 70⁰

SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं ।

अत:  \Delta MNL\sim \Delta QPR

(v) LA = 80⁰, AB = 2.5, BC = 3

LF = 80⁰, DF = 5, EF = 6

LB \neq LF

संगत कोण बराबर नहीं हैं अत: दोनों त्रिभुज आपस में समरूप नहीं हैं ।

(vi) LD = 70⁰, LE = 80⁰

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180⁰ के आधार पर

LF = 180⁰ – (70+80)⁰

LF = 180⁰ – 150⁰ = 30⁰

LF = 30⁰

LQ = 80⁰, LR = 30⁰

इसी प्रकार LP = 180⁰ – (30+80)⁰

LP = 180⁰ – 110⁰ = 70⁰

LP = 70⁰

LD = LP = 70⁰

LE = LQ = 80⁰

LF = LR = 30⁰

तीनों संगत कोण बराबर हैं अत: अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं अर्थात \Delta DEF\sim \Delta QRP

प्रश्‍न 2. आकृति 6.35 में , LBOC = 125⁰ और LCDO = 70⁰ है ।LDOC , LDCO औरLOAB ज्ञात कीजिए ।

हल :-

दिया गया है –  \Delta ODC\sim \Delta OBC

LBOC = 125⁰ , LCDO = 70⁰

LDOC , LDCO और LAOB = ?

LDOC + LBOC = 180⁰  [ रैखिक युग्‍म कोण अर्थात एक ही रेखा पर बने कोण ]

LDOC + 125⁰ = 180⁰

LDOC = 180⁰ – 125⁰

LDOC  = 55⁰

 \Delta ODC में

LDCO + LDOC + LCDO = 180⁰  [ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180⁰ होता है ]

LDCO + 55⁰ + 70⁰ = 180⁰

LDCO + 125⁰ = 180⁰

LDCO = 180⁰ – 125⁰

LDCO  = 55⁰

यदि \Delta ODC\sim \Delta OBC हैं तो इसके संगत कोण बराबर होंगे ।

अत:  LDCO = LAOB

 LAOB = 55⁰

अत: LDOC  = 55⁰, LDCO  = 55⁰ और LAOB = 55⁰

प्रश्‍न 3. समलंब ABCDजिसमें AB II DC है , के वि‍कर्ण AC और BD परस्‍पर Oपर प्रतिच्‍छेद करते हैं । दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}} है ।

हल :-

दिया गया है – ABCD समलंब है तथा AB II DC

सिद्ध करना है –  \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}

उपपत्ति :- LAOB = LCOD ( शीर्षाभिमुख कोण )

क्‍योंकि AB II DC है तथा दोनों को तिर्यक रेखा AC काटती है तो

LOAB = LCOD ( एकान्‍तर कोण )

 \Delta AOB  व \Delta COD में

LAOB = LCOD

LOAB = LCOD

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

  \Delta AOB\sim \Delta COD   हैं

इनकी संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में होंगी

अत:   \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}

प्रश्‍न 4. आकृति 6.36 में \mathbf{\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}} तथा L1 = L2 हैं तो दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta PQS\sim \Delta TQR} हैं ।

हल :-

दिया गया है – \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} तथा L1 = L2

सिद्ध करना है – \Delta PQS\sim \Delta TQR

उपपत्ति :- \Delta PQS में

L1 = L2 ( दिया गया है )

हम जानते हैं कि समान कोणों की सम्‍मुख भुजाऐं समान होती हैं

इसलिए PQ = PR

दिया है कि \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}

  \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ}  ( PQ = PR )

 \Delta PQS  व \Delta TQR में

LPQS =LTQR = L1 ( उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: SAS समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta PQS\sim \Delta TQR

प्रश्‍न 5. \mathbf{ \Delta PQR} की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित है कि LP =LRTS है । दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta PQS\sim \Delta TQR} हैं ।

हल :-

दिया गया है – LP =LRTS

सिद्ध करना है –   \Delta PQS\sim \Delta TQR  हैं ।

उपपत्ति :- \Delta RPQ व \Delta RTS में

LP =LRTS ( दिया गया है )

LPQR =LSRT  (उभयनिष्‍ठ कोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

  \Delta PQS\sim \Delta TQR हैं ।

प्रश्‍न 6. आकृति 6.37 में यदि \mathbf{\Delta ABE \simeq \Delta ACD} हैं तो दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta ADE \sim \Delta ABC} हैं ।

हल :-

दिया गया है – \Delta ABE \simeq \Delta ACD   हैं

            अर्थात \Delta ABE तथा \Delta ACD सर्वांगसम हैं ।

सिद्ध करना है –  \Delta ACE \sim \Delta ABC    हैं ।

उपपत्ति :- क्‍योंकि \Delta ABE \simeq \Delta ACD हैं

हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाऐं बराबर होती हैं

इसलिए AB = AC

    \frac{AB}{AC} = 1 ………….. (i)

तथा AE = AD

1 = \frac{AD}{AE} …………… (ii)

समीकरण (i) व (ii) से

\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}

AB X AE = AD X AC

\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}

LDAE = LBAC ( उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: SAS समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ACE \sim \Delta ABC  हैं ।

प्रश्‍न 7. आकृति 6.38 में  के शीर्षलम्‍ब AD और CE परस्‍पर बिंदु P पर प्रतिच्‍छेद करते हैं । दर्शाइए कि :

 (i) \mathbf{\Delta AEP \sim \Delta CDP}

(ii) \mathbf{\Delta ABD \sim \Delta CBE}

(iii) \mathbf{\Delta AEP \sim \Delta ADB}

(iv) \mathbf{\Delta PDC \sim \Delta BEC}

हल :-

 (i) सिद्ध करना है –  \Delta AEP \sim \Delta CDP

उपपत्ति :- \Delta AEP व \Delta CDP में

LAEP = LCDP ( अभिलम्‍ब )

LAPE = LCPD ( शीर्षाभिमुख कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta AEP \sim \Delta CDP   हैं ।

(ii) सिद्ध करना है –  \Delta ABD \sim \Delta CBE

उपपत्ति :- \Delta ABD व \Delta CBE  में

LADB = LCEB ( अभिलम्‍ब )

LABD = LCBE (उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABD \sim \Delta CBE हैं ।

(iii) सिद्ध करना है – \Delta AEP \sim \Delta ADB 

उपपत्ति :- \Delta AEP व \Delta ADB में

LAEP = LADB ( अभिलम्‍ब )

LPAE = LDAB (उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

 \Delta AEP \sim \Delta ADB  हैं ।

(iv) सिद्ध करना है – \Delta PDC \sim \Delta BEC

उपपत्ति :- \Delta PDC व \Delta BEC में

LPDC = LBEC ( अभिलम्‍ब )

LPCD = LBCE (उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta PDC \sim \Delta BEC हैं ।

प्रश्‍न 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्‍दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्‍छेद करती है । दर्शाइए कि \mathbf {\Delta ABE \sim \Delta CFB}  हैं ।

हल :-

दिया गया है – ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।

सिद्ध करना है – \Delta ABE \sim \Delta CFB

उपपत्ति :- यदि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तो AD II BC होंगी ।

AD को E तक बढ़ाया है इसलिए AE II BC होंगी ।

AE व BC तिर्यक रेखा BE काटती है तो

LAEB = LCBE ( एकान्‍तर कोण )

 LEAB = LFCB ( समांतर चतुर्भुज के सम्‍मुख कोण बराबर होते हैं । )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABE \sim \Delta CFB हैं ।

प्रश्‍न 9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं , जिनके कोण B और M समकोण हैं । सिद्ध कीजिए कि :

(i) \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta AMP}

(ii) \mathbf{\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}}

हल :-

(i) \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta AMP}

दिया गया है – LB =LM (समकोण)

सिद्ध करना है –  \Delta ABC \sim \Delta AMP

उपपत्ति :- \Delta ABC व  \Delta AMP  में

LB =LM (समकोण)

LCAB = LMAP ( उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

 \Delta ABC \sim \Delta AMP हैं ।

(ii) सिद्ध करना है – \mathbf{\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}}

उपपत्ति :- \Delta ABC व  \Delta AMP  में

LB =LM (समकोण)

LCAB = LMAP ( उभयनिष्‍ठ कोण )

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABC \sim \Delta AMP  हैं तो

इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी

अत: \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}

प्रश्‍न 10. CD और GH क्रमश: LACB और LEGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश:  और  की भुजाओं AB और FE पर स्थित है ।

यदि  \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta FEG}  है तो दर्शाइए कि :

(i) \mathbf{\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}}

(ii) \mathbf{\Delta DCB \sim \Delta HGE}

(iii) \mathbf{\Delta DCA \sim \Delta HGF}

हल :-

(i) \mathbf{\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}}

दिया गया है –  \Delta ABC \sim \Delta FEG  

सिद्ध करना है –  \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}

उपपत्ति :- यदि  \Delta ABC \sim \Delta FEG हैं तो

LA = LF [ संगत कोण बराबर होंगे ]

तथा LACB = LFGE

LACB/2 = LFGE/2

LACD = LFGH (समद्विभाजक कोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ACD \sim \Delta FGH हैं तो

इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी

अत: \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}

(ii) \mathbf{\Delta DCB \sim \Delta HGE}

दिया गया है –  \Delta ABC \sim \Delta FEG

सिद्ध करना है –  \Delta DCB \sim \Delta HGE 

उपपत्ति :- यदि \Delta ABC \sim \Delta FEG हैं तो

LDBC = LHEG [ संगत कोण बराबर होंगे ]

तथा LACB = LFGE

LACB/2 = LFGE/2

LDCB = LHGE (समद्विभाजक कोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta DCB \sim \Delta HGE

(iii) \mathbf{\Delta DCA \sim \Delta HGF}

दिया गया है – \Delta ABC \sim \Delta FEG

सिद्ध करना है –  \Delta DCA \sim \Delta HGF

उपपत्ति :- यदि \Delta ABC \sim \Delta FEG  हैं तो

LCAD = LGFE [ संगत कोण बराबर होंगे ]

तथा LACB = LFGE

LACB/2 = LFGE/2

LACD = LFGH (समद्विभाजक कोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

 \Delta DCA \sim \Delta HGF

प्रश्‍न 11. आकृति 6.40 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है । यदि AD \perp BC और EF \perp AC है तो सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\Delta ABD \sim \Delta ECF} हैं ।

हल :-

दिया गया है – AB = AC और EF \perp AC है

सिद्ध करना है – \Delta ABD \sim \Delta ECF  हैं ।

उपपत्ति :- AB = AC अर्थात त्रिभुज ABC समद्विबाहु है

इसलिए इसके सम्‍मुख कोण बराबर होंगे

LB = LC

LADB = LEFC (समकोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABD \sim \Delta ECF

प्रश्‍न 12. एक त्रिभुज ABC की भुजाऐं AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्‍य त्रिभुज PQR की क्रमश: भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है (देखिए आकृति 6.41) । दर्शाइए कि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} हैं ।

हल :-

दिया गया है – \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}

सिद्ध करना –  \Delta ABC \sim \Delta PQR

उपपत्ति :-  \Delta ABC  में माध्यिका AD है तो D, BC का मध्‍यबिंदु है इसलिए

BD = DC

समद्विबाहु त्रिभुज में

BC = BD + DC

BC = BD + BD

BC = 2BD

इसी प्रकार \Delta PQR में माध्यिका PM है तो M, QR का मध्‍यबिंदु है इसलिए

QM = MR

समद्विबाहु त्रिभुज में

QR = QM + MR

QR = QM + QM

QR = 2QM

दिया गया है   \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}\\

\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM}\\

\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}

S-S-S समानुपातिकता कसौटी के आधार पर

\Delta ABD \sim \Delta PQM

यदि \Delta ABD \sim \Delta PQM हैं तो इनके संगत कोण बराबर होंगे

अत: LB = LQ

 \Delta ABC  व \Delta PQR में

 \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}  व LB = LQ

है तो S-A-S समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर

\Delta ABC \sim \Delta PQR

प्रश्‍न 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि LADC = LBAC है । दर्शाइए कि CA² = CB.CD है ।

हल :-

दिया गया है – LADC = LBAC

सिद्ध करना है – CA² = CB.CD

उपपत्ति :-  \Delta ADC व \Delta BAC में

LADC = LBAC (दिया है)

LACD = LACB (उभयनिष्‍ठ कोण)

अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ADC \sim \Delta BAC

अत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी ।

 AC² = BC.CD

CA² = CB.CD

प्रश्‍न 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाऐं AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्‍य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमश: समानुपाती हैं। दर्शाइए कि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} हैं ।

हल :-

दिया गया है – AB, AC व AD क्रमश: PQ, PR व PM के समानुपाती हैं अर्थात \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}

सिद्ध करना है – \Delta ABC \sim \Delta PQR हैं ।

रचना – \Delta ABC में माध्यि‍का AD को E तक इस प्रकार बढ़ाऐं कि AD = DE तथा E को B व C से मिलाऐं ।

इसी प्रकार \Delta PQR में माध्यिका PM को N तक इस प्रकार बढ़ाऐं कि PM = MN तथा N को Q व R से मिलाऐं ।

उपपत्ति :- AD = DE (रचना से)

BD = DC ( AD माध्यिका है )

अत: विकर्ण समद्विभाजत करते हैं अत: ABEC समान्‍तर चतुर्भुज है ।

चतुर्भुज ABEC में  BE = AC

  \frac{BE}{AC} = 1 ………..(i)

इसी प्रकार चतुर्भुज PMNR में QN = PR

\frac{QN}{PR} = 1 ………… (ii)

समीकरण (i) व (ii) से

\frac{BE}{AC}=\frac{QN}{PR}\\

 \frac{BE}{QN}=\frac{AC}{PR} ………….(iii)

इसी प्रकार  \frac{AD}{PM}=\frac{2AD}{2PM}//

  \frac{AD}{PM}=\frac{AE}{PN}   ……….. (iv)

दिया गया है – \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}

समीकरण (iii) व (iv) से

\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PN}

S-S-S समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABE \sim \Delta PQN

अत: LBAE = LQPN ……..(v)

इसी प्रकार    

अत: LEAC = LNPR …….. (vi)

समीकरण (v) व (vi) जोड़ने पर

LBAE + LEAC = LQPN + LNPR

 \Delta ABC व \Delta PQR में

 \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}  तथा LA = LP

S-A-S समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABC \sim \Delta PQR

प्रश्‍न 15. 6 मीटर लम्‍बाई वाले एक उर्ध्‍वाधर स्‍तम्‍भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है , जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मीटर है । मीनार की उँचाई ज्ञात कीजिए ।

हल :-

 \Delta ABE व \Delta CDE में

LAEB = LCED (उभयनिष्‍ठ कोण)

LABE = LCDE (अभिलम्‍ब)

A-A समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABE \sim \Delta CDE

अत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी

\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}\\

\frac{h}{6} = \frac{28}{4}\\

h = \frac {28\times6}{4}

h = 42 मीटर

अत: मीनार की उँचाई 42 मीटर है ।

प्रश्‍न 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR  की क्रमश: माध्यिकाऍं हैं जबकि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} है । सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}} है ।

हल :-

दिया गया है –   \Delta ABC \sim \Delta PQR

सिद्ध करना है –  \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}

उपपत्ति :- \Delta ABC में माध्यिका AD है तो D, BC का मध्‍यबिन्‍दु होगा ।

अत:  BD = DC

BC = BD + DC

BC = BD + BD (क्‍योंकि BD = DC)

BC = 2BD …….. (i)

इसी प्रकार  में माध्यिका PM है तो M, QR का मध्‍यबिन्‍दु होगा ।

अत:  QM = MR

QR = QM + MR

QR = QM +QM (क्‍योंकि QM = MR)

QR = 2QM ………… (ii)

यदि \Delta ABC \sim \Delta PQR हैं तो

\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}\\

\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM}\\

\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}

   (समीकरण i व ii से )

तथा LB = LQ

S-A-S समरूपता कसौटी के आधार पर

\Delta ABD \sim \Delta PQM

अत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी

\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}

\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}

प्रश्‍नावली 6.3 कक्षा 10 गणित समाधान in pdf

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कक्षा 10 गणित समाधान

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