प्रश्‍नावली 4.3 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | Class 10 maths exercise 4.3 solutions in hindi

Q: प्रश्नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को किस विधि से हल किया गया है ?

प्रश्नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि तथा द्विघाती सूत्र से हल किया गया है ।

Q: द्विघाती सूत्र अथवा श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए ।

द्विघाती सूत्र ( श्री धराचार्य सूत्र ) द्विघात समीकरण ax2+bx+c = 0 यदि b2-4ac ≥ 0 है तो मूलों का अस्तितव होगा । द्विघात समीकरण के मूल x = \frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}

Class	10
Exercise	4.3
Join online Test series	Click here
Join our Telegram Group	Click here

Table of contents hide

1 पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना

2 द्विघाती सूत्र ( श्री धराचार्य सूत्र )

3 कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 4.3 समाधान

3.1 प्रश्‍नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को किस विधि से हल किया गया है ?

3.2 द्विघात समीकरण को हल करने की पूर्ण वर्ग विधि बताईए ।

3.3 द्विघाती सूत्र अथवा श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए ।

3.4 Related

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना

इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं ।

x²-4x+2 = 0

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर [ क्‍योंकि (x-2)² = x²-4x+4 ]

x²-4x+2+2 = 0+2

x²-4x+4 = 2

(x-2)² = 2

x-2 = ± $\sqrt{2}$

x = 2± $\sqrt{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल 2+ $\sqrt{2}$ तथा 2- $\sqrt{2}$ हैं ।

द्विघाती सूत्र ( श्री धराचार्य सूत्र )

द्विघात समीकरण ax²+bx+c = 0

यदि b²-4ac ≥ 0 है तो मूलों का अस्तितव होगा ।

द्विघात समीकरण के मूल x = $\frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}$

WhatsApp Button Join WhatsApp Group

Join on Telegram

कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 4.3 समाधान

प्रश्‍न 1. यदि निम्‍नलिखित द्विाघात समीकरणों के मूलों का अस्तितव हो तो इन्‍हे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।
(i) 2x²-7x+3 = 0 (ii) 2x²+x-4 = 0
(iii) 4x²+4 $\sqrt{3}$ x+3 = 0 (iv) 2x²+x+4 = 0

हल :- (i) 2x²-7x+3 = 0

x² का गुणांक 1 बनाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर

x²– $\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}$ = 0

x² – $2(\frac{7}{4})x = \frac{-3}{2}$

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में ( )² जोड़ने पर

x^{2} – 2(\frac{7}{4})x + (\frac{7}{4}) ^{2}   = \frac{-3}{2} + (\frac{7}{4}) ^{2}

$(x- \frac{7}{4}) ^{2}$ = $\frac{-3}{2} + \frac{49}{16}$ ‘

$(x- \frac{7}{4}) ^{2}$ = $\frac{-24+49}{16}$ ‘

$(x- \frac{7}{4}) ^{2}$ = $\frac{25}{16}$ ‘

$x-\frac{7}{4}$ = $\sqrt{\frac{25}{16}}$ ‘

$x-\frac{7}{4} = ± \frac{5}{4}$ ‘

x = $\frac{7}{4} ± \frac{5}{4}$

x = $\frac{7}{4} + \frac{5}{4}$ या x = $\frac{7}{4} - \frac{5}{4}$

x = $\frac{12}{4}$ या x = $\frac{2}{4}$

x = 3 या x = $\frac{1}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल 3 व $\frac{1}{2}$ हैं ।

(iii) 4x²+4 $\sqrt{3}$ x+3 = 0

(2x)² + 2(2x) $\sqrt{3}$ + 3 = 0

(2x)² + 2(2x) $\sqrt{3}$ +( $\sqrt{3}$ ) ² = 0

(2x+ $\sqrt{3}$ )² = 0

2x+ $\sqrt{3}$ = 0 या 2x + $\sqrt{3}$ = 0

x = – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ या x = – $\frac{\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ व – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं ।

(iv) 2x²+x+4 = 0

2x²+x+4 = 0

x² का गुणांक 1 बनाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से भाग करने पर

x² + $\frac{x}{2}$ + 2 = 0

x²+ 2( $\frac{1}{4}$ )x = -2

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में ( $\frac{1}{4}$ )² जोड़ने पर

x²+ 2( $\frac{1}{4}$ )x + ( $\frac{1}{4}$ )² = -2 + ( $\frac{1}{4}$ )²

( x+ $\frac{1}{4}$ )² = -2 + $\frac{1}{16}$

(x+ $\frac{1}{4}$ )² = $\frac{-32+1}{16}$

(x+ $\frac{1}{4}$ )² = $\frac{-31}{16}$ < 0

अत: दिए गए द्विघात समीकरण में वास्‍तविक मूल का अस्तितव नहीं है ।

प्रश्‍न 2. उपर्युक्‍त प्रश्‍न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए ।

हल:- (i) 2x²-7x+3 = 0

ax²+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = -7, c = 3

b²-4ac = (-7)² – 4x2x3 = 49 – 24 = 25 ≥ 0

b²-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x = $\frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}$

x = $\frac{- (-7) \pm \sqrt{ 25 }}{2(2)}$

x = $\frac{7 \pm 5}{4}$

x = $\frac{7+5}{4}$ या x = $\frac{7-5}{4}$

x = $\frac{12}{4}$ या x = $\frac{2}{4}$

x = 3 या x = $\frac{1}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल 3 व $\frac{1}{2}$ हैं ।

(ii) 2x²+x-4 = 0

ax²+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = 1, c = -4

b²-4ac = (1)² – 4x2x-4 = 1+32 = 33 ≥ 0

b²-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x = $\frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}$

x = $\frac{- 1 \pm \sqrt{ 33 }}{2(2)}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{ 33 }}{4}$

x = $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ या $\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ व $\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$ हैं ।

(iii) 4x²+4 $\sqrt{3}$ x+3 = 0

ax²+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 4, b = 4 $\sqrt{3}$ , c = 3

b²-4ac = (4 $\sqrt{3}$ ) ² – 4x4x3 = 48 – 48 = 0 ≥ 0

b²-4ac ≥ 0 है अत: मूलों का अस्तितव है ।

द्विघाती सूत्र से x = $\frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}$

x = $\frac{- 4\sqrt{3}\pm \sqrt{ 0 }}{2(4)}$

x = $\frac{- 4\sqrt{3}\pm0}{8}$ = $\frac{- \sqrt{3}\pm0}{2}$

x = $\frac{- \sqrt{3}+0}{2}$ या $\frac{- \sqrt{3}-0}{2}$

x = – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , – $\frac{\sqrt{3}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ व – $\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं ।

(iv) 2x²+x+4 = 0

ax²+bx+c = 0 से तुलना करने पर

a = 2, b = 1, c = 4

b²-4ac = (1)² – 4x2x4 = 1-32 = -31 < 0

अत: मूलों का अस्तितव नहीं है ।

प्रश्‍न 3. निम्‍न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए ।

(i) x – $\frac{1}{x}$ = 3, x ≠ 0 (ii) $\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}$ , x ≠ -4, 7

हल :- (i) x – $\frac{1}{x}$ = 3, x ≠ 0

$\frac{x^{2}-1}{x}$ = 3

x²– 1 = 3x

x² – 3x – 1 = 0

a = 1, b = -3, c = -1

द्विघाती सूत्र से x = $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

x = $\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}$ = $\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}$

x = $\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

x = $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ या $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$

अत: द्विघात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ व $\frac{3-\sqrt{13}}{2}$ हैं ।

(ii) $\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}$ , x ≠ -4, 7

$\frac{1}{x+4} - \frac{1}{x-7} = \frac{11}{30}$ ‘

$\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30}$ ‘

$\frac{x-7-x-4}{x^{2}-3x-28} = \frac{11}{30}$ ‘

\frac{-11}{x^2-3x-28} = \frac{11}{30}

-11×30 = 11(x²-3x-28)

-30 = x²-3x-28

0 = x²-3x-28+30

x²-3x+2 = 0

x²-2x-x+2 = 0

x(x-2) -1(x-2) = 0

(x-2)(x-1) = 0

x = 2 या x = 1

अत: द्विघात समीकरण के मूल 2 व 1 हैं ।

प्रश्‍न 4. 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षो में) का व्‍युत्‍क्रम और अब से 5 वर्ष पश्‍चात आयु के व्‍युत्‍क्रम का योग $\frac{1}{3}$ है । उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है ।

3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = x-3

5 वर्ष पश्‍चात रहमान की आयु = x+5

प्रश्‍नानुसार $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$ ‘

\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}

\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}

3(2x+2) = x²+2x-15

6x+6 = x²+2x-15

0 = x²+2x-15-6x-6

0 = x²-4x-21

x²-7x+3x-21 = 0

x(x-7) +3(x-7) = 0

(x-7)(x+3) = 0

x-7 = 0 या x+3 = 0

x = 7 या x = -3 (यह संभव नहीं क्‍योंकी आयु ऋणात्‍मक नहीं होती )

अत: रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है ।

प्रश्‍न 5. एक क्‍लास टेस्‍ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्‍त किए गए अंकों का योग 30 है । यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता । उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्‍त किए अंक ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना शेफाली ने गणित में x अंक हासिल किए ।

तो अंग्रेजी में अंक प्राप्‍त किए = 30-x

गणित में 2 अंक अधिक मिलते तो प्राप्‍त अंक = x+2

अंग्रेजी में 3 अंक कम मिलते तो प्राप्‍त अंक = (30-x)-3 = 27-x

अंकों का गुणनफल = 210

(x+2)(27-x) = 210

27x-x²+54-2x = 210

-x²+25x+54-210 = 0

-x²+25x – 156 = 0

x² -25x +156 = 0

x²-12x-13x+156 = 0

x(x-12) -13(x-12) = 0

(x-12)(x-13) = 0

x = 12 या x = 13

यदि x = 12

यदि गणित में 12 अंक प्राप्‍त किए तो अंग्रेजी में प्राप्‍त अंक = 13 अंक

यदि x = 13

यदि गणित में 13 अंक प्राप्‍त किए तो अंग्रेजी में प्राप्‍त अंक = 12 अंक

प्रश्‍न 6. एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्‍बा है । यदि बडी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो तो खेत की भुजाएं ज्ञात कीजिए ।

पाईथोगोरस प्रमेय के अनुसार

(कर्ण)² = (आधार)²+ (लम्‍ब)²

(x+60)² = (x)² + (x+30)²

x²+120x+3600 = x² + x²+60x+900

0 = x² + x²+60x+900 – x²-120x-3600

0 = x²-60x-2700

x²-60x-2700 = 0

x² -90x+30x-2700 = 0

x(x-90) +30(x-90) = 0

(x-90)(x+30) = 0

x = 90 या x = -30 (यह संभव नहीं)

अत: आयताकार खेत की छोटी भुजा की लंबाई = 90 मी.

तथा बड़ी भुजा की लंबाई = 120 मी.

प्रश्‍न 7. दो संख्‍याओं के वर्गों का अंतर 180 है । छोटी संख्‍या का वर्ग बड़ी संख्‍या का आठ गुना है । दोनों संख्‍याएं ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना बड़ी संख्‍या x है तथा छोटी संख्‍या y है ।

छोटी संख्‍या का वर्ग = बड़ी संख्‍या का आठ गुना

y² = 8x …………. (i)

दोनों संख्‍याओं के वर्गों का अंतर = 180

x² – y² = 180

x² – 8x = 180 ( y² = 8x)

x² – 8x – 180 = 0

x² -18x +10x – 180 = 0

x(x-18) +10(x-18) = 0

(x-18)(x+10) = 0

x = 18 या x = -10 (यह संभव नहीं)

यदि बड़ी संख्‍या = 18

तो छोटी संख्‍या = $\sqrt{8(18)} = \sqrt{144} = \pm12$

प्रश्‍न 8. एक रेलगाड़ी समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है । यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती । रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।

हल:- माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है ।

रेलगाड़ी द्वारा 360 km दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{दूरी}{चाल} = \frac{360}{x}$ घंटा

यदि चाल 5 km/h अधिक अर्थात x+5 होती तो लगा समय = $\frac{दूरी}{चाल} = \frac{360}{x+5}$ घंटा

समय में अंतर = 1 घंटा

$\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5}$ = 1

$\frac{360(x+5)-360x}{x(x+5)}$ = 1

$\frac{360x+1800-360x}{x^2+5x}$ = 1

1800 = x²+5x

0 = x²+5x-1800

x²+45x-40x-1800 = 0

x(x+45) -40(x+45) = 0

(x-40)(x+45) = 0

x = 40 या x = -45 (यह संभव नहीं)

अत: रेलगाड़ी की चाल 45 km/h है ।

प्रश्‍न 9. दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9 घंटों में भर सकते हैं । बड़े व्‍यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्‍यास वाले नल से 10 घंटे समय कम लेता है । प्रत्‍येक द्वारा अलग से हौज को भरने में समय ज्ञात कीजिए ।

प्रश्‍न 10. मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्‍सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है ( मध्‍य स्‍टेशनों के मध्‍य ठहराव का समय ध्‍यान में न लिया जाए ) यदि एक्‍सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो तो दोनों रेलगाड़ीयों की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना सवारी गाड़ी की औसत चाल x km/h है ।

तो एक्‍सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = x+11 km/h

सवारी गाड़ी द्वारा 132 km यात्रा करने में लगा समय = $\frac{दूरी}{चाल} = \frac{132}{x}$ घंटा

तथा एक्‍स्‍प्रेस गाड़ी द्वारा 132 km यात्रा करने में लगा समय = $\frac{दूरी}{चाल} = \frac{132}{x+11}$ घंटा

प्रश्‍नानुसार $\frac{132}{x} - \frac{132}{x+11}$ = 1

$\frac{132(x+11)-132x}{x(x+11)}$ = 1

$\frac{132x+1452-132x}{x^2+11x}$ = 1

$\frac{1452}{x^2+11x}$ = 1

1452 = x²+11x

0 = x²+11x -1452

x²+44x-33x-1452 = 0

x(x+44) -33(x+44) = 0

(x-33)(x+44) = 0

x = 33 या x = -44

अत: सवारी गाड़ी की औसत चाल 33 km/h है ।

तथा एक्‍स्‍प्रेस गाड़ी की औसत चाल = 33+11 = 44 km/h है ।

प्रश्‍न 11. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है । यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m है तो दोनों वर्गों की भुजाएं ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना पहले वर्ग की भुजा की लंबाई x मीटर है ।

तथा दूसरे वर्ग की भुजा की लंबाई y मीटर है ।

वर्गों के परिमापों का अंतर = 24 मीटर

4x – 4y = 24

4(x-y) = 24

x-y = 6

x-6 = y …….. (i)

दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों का योग = 468 m²

x² + y² = 468

x² + (x-6)² = 468 (समी. 1 से y = x-6 )

x² + x² -12x + 36 = 468

2x² – 12x – 432 = 0

x² – 6x – 216 = 0 ( दोनों पक्षों में 2 का भाग करने में )

x² – 18x + 12x – 216 = 0

x(x-18) +12(x-18) = 0

(x-18)(x+12) = 0

x = 18 या x = -12 ( यह संभव नहीं )

अत: पहले वर्ग की भुजा की लंबाई = 18 मीटर

तथा दूसरे वर्ग की भुजा की लंबाई = 18-6 = 12 मीटर

Click here for exercise 4.3 view in pdf

class-10-maths-exercise-4.3-solitions

Join online test series	Click here
Join our Telegram Group	Click here

Click here for other Exercise Solutions

CLICK HERE

प्रश्‍नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को किस विधि से हल किया गया है ?

प्रश्‍नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि तथा द्विघाती सूत्र से हल किया गया है ।

द्विघात समीकरण को हल करने की पूर्ण वर्ग विधि बताईए ।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना
इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं ।
x²-4x+2 = 0
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर [ क्‍योंकि (x-2)² = x²-4x+4 ]
x²-4x+2+2 = 0+2
x²-4x+4 = 2
(x-2)² = 2
x-2 = ± $\sqrt{2}$
x = 2± $\sqrt{2}$
अत: द्विघात समीकरण के मूल 2+ $\sqrt{2}$ तथा 2- $\sqrt{2}$ हैं ।

द्विघाती सूत्र अथवा श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए ।

द्विघाती सूत्र ( श्री धराचार्य सूत्र )
द्विघात समीकरण ax²+bx+c = 0
यदि b²-4ac ≥ 0 है तो मूलों का अस्तितव होगा ।
द्विघात समीकरण के मूल x = $\frac{- b \pm \sqrt{ b^{2} - 4ac }}{2a}$

Telegram Group	Join
WhatsApp Group	Join

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना

द्विघाती सूत्र ( श्री धराचार्य सूत्र )

कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 4.3 समाधान

प्रश्‍नावली 4.3 में द्विघात समीकरण को किस विधि से हल किया गया है ?

द्विघात समीकरण को हल करने की पूर्ण वर्ग विधि बताईए ।

द्विघाती सूत्र अथवा श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए ।

Related

Leave a Comment Cancel reply