Ncert class 10 maths exercise 4.1| Exercise 4.1 class 10 | Ncert maths solutions in hindi | प्रश्नावली 4.1 कक्षा 10 गणित में हम दी गई समीकरणों में द्विघात समीकरण की पहचान करेंगे । दिए गए कथनों के आधार पर द्विघात समीकरण का निर्माण करेंगे ।
द्विघात समीकरण – ऐसी समीकरण द्विघात समीकरण कहलाती है जिसमें x की उच्चतम घात 2 हो तथा समीकरण ax2+bx+c = 0 रूप में परिवर्तित की जा सके, जहां a,b,c वास्तविक संख्याएं हैं । उदाहरण के लिए 2x2+3x-4=0, x2-1=0, 4x-3x2+5=0 आदि सभी द्विघात समीकरण हैं ।
द्विघात समीकरण का मानक रूप – ax2+bx+c = 0, a≠0 द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।
समीकरण का सरलीकरण कर द्विघात समीकरण में बदलना – इसे हम निम्न उदाहरण से समझते हैं –
समीकरण (x-2)(x-1) = 0 का सरलीकरण करने पर
x(x-1) -2(x-1) = 0
x2 –x -2x +2 = 0
x2 – 3x + 2 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है ।
| Board name | RBSE, UP BOARD, MP BOARD |
| कक्षा | 10 |
| विषय | गणित |
| अध्याय | 4 द्विघात समीकरण |
| प्रश्नावली | 4.1 |
| सिलेबस | NCERT |
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प्रश्न 1. जांच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x+1)2 = 2(x-3)
हल :- सरलीकरण करने पर
(x+1)2 = 2(x-3)
x2 + 2x +1 = 2x – 3 [क्योंकि (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 सर्वसमिका के उपयोग से ]
x2 + 2x +1 – 2x + 3 = 0
x2 + 7 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है (नोट : यहां b = 0 ) ।
(ii) x2-2x = (-2)(3-x)
हल :- x2-2x = (-2)(3-x) सरलीकरण करने पर
x2-2x = -6 + 2x
x2 – 2x + 6 – 2x = 0
x2 – 4x + 6 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है ।
(iii) (x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)
सरलीकरण करने पर
x(x+1) -2(x+1) = x(x+3) -1(x+3)
x2 + x – 2x – 2 = x2 + 3x – x – 3
x2 – x – 2 = x2 + 2x – 3
x2 – x – 2 – x2 – 2x + 3 = 0
-3x + 1 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 1 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की नहीं है अत: यह द्विघात समीकरण नहीं है ।
(iv) (x-3)(2x+1) = x(x+5)
सरलीकरण करने पर
x(2x+1) -3(2x+1) = x2 + 5x
2x2 + x – 6x – 3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 = x2 + 5x
2x2 – 5x – 3 – x2 – 5x = 0
x2 – 10x – 3 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है ।
(v) (2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)
सरलीकरण करने पर
2x(x-3) -1(x-3) = x(x-1) +5(x-1)
2x2 – 6x – x + 3 = x2 – x + 5x – 5
2x2 – 7x + 3 = x2 + 4x – 5
2x2 – 7x + 3 – x2 – 4x + 5 = 0
x2 – 11x + 8 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है ।
(vi) x2 + 3x + 1 = (x-2)2
सरलीकरण करने पर
x2 + 3x + 1 = x2 – 4x + 4 [क्योंकि (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 सर्वसमिका के उपयोग से ]
x2 + 3x + 1 – x2 + 4x – 4 = 0
7x – 3 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 1 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की नहीं है अत: यह द्विघात समीकरण नहीं है ।
(vii) (x+2)3 = 2x(x2-1)
सरलीकरण करने पर
x3 + (2)3 + 6x(x+2) = 2x3 – 2x [क्योंकि (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) सर्वसमिका के उपयोग से ]
x3 + 8 + 6x2 + 12x = 2x3 – 2x
0 = 2x3 – 2x – x3 – 8 – 6x2 – 12x
0 = x3 – 6x2 – 14x – 8
x3 – 6x2 – 14x – 8 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 3 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की नहीं है अत: यह द्विघात समीकरण नहीं है ।
(viii) x3 – 4x2 – x + 1 = (x-2)3
सरलीकरण करने पर
x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – (2)3 – 6x(x-2) [क्योंकि (a-b)3 = a3 – b3 – 3ab(a-b) सर्वसमिका के उपयोग से ]
x3 – 4x2 – x + 1 = x3 – 8 – 6x2 + 12x
x3 – 4x2 – x + 1 – x3 + 8 + 6x2 – 12x = 0
2x2 – 13x + 9 = 0
इस समीकरण में x की उच्चतम घात 2 है तथा यह ax2+bx+c = 0 रूप की है अत: यह द्विघात समीकरण है ।
प्रश्न 2. निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m2 है । क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दूगुने से एक अधिक है । हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है ।
हल :- माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई x मीटर है ।
तो लंबाई = 2(चौड़ाई) +1
= 2x+1
हम जानते हैं कि आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई
अत: लंबाई x चौड़ाई = 528 m2
(2x+1)x = 528
2x2 + x = 528
2x2 + x – 528 = 0
यह एक द्विघात समीकरण है जहां x (मीटर में) भूखंड की चौड़ाई है ।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णाकों का गुणनफल 306 है । हमें पूर्णाकों को ज्ञात करना है ।
हल :- माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमश: x और x+1 हैं ।
पूर्णाकों का गुणनफल = 306
x(x+1) = 306
x2 + x = 306
x2 + x – 306 = 0
यह एक द्विघात समीकरण है |
(iii) रोहन की मां उससे 26 वर्ष बड़ी है । उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात 360 हो जाएगा । हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है ।
हल :- माना रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है ।
तो रोहन की मां की वर्तमान आयु = x+26
3 वर्ष पश्चात रोहन की आयु = x+3
3 वर्ष पश्चात रोहन की मां की आयु = (x+26) + 3 = x+29
3 वर्ष पश्चात दोनों की आयु का गुणनफल = 360
(x+3)(x+29) = 360
x(x+29) +3(x+29) = 360
x2 + 29x + x + 87 = 360
x2 + 30x + 87 – 360 = 0
x2 + 30x – 273 = 0
यह एक द्विघात समीकरण है जहां x (वर्ष में) रोहन की वर्तमान आयु है ।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है । यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती है तो यह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती है । हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है ।
हल :- माना रेलगाड़ी की चाल x km/h है तो 480 km तय करने में लगा समय = \frac{480}{x} [ क्योंकि समय = \frac{दूरी}{चाल} ]
यदि रेलगाड़ी की चाल 8 km/h कम हो अर्थात (x-8) km/h हो तो 480 km दूरी तय करने में लगा समय = \frac{480}{x-8}
प्रश्नानुसार \frac{480}{x-8} - \frac{480}{x} = 3
\frac{480x - 480(x-8)}{x(x-8)} = 3
480x – 480(x-8) = 3x(x-8)
480x – 480x + 3840 = 3x2 – 24
3840 = 3x2 – 24x
3840 = 3(x2 – 8x)
x2 – 8x = \frac{3840}{3}
x2 – 8x = 1280
x2 – 8x – 1280 = 0
यह एक द्विघात समीकरण है जहां x (km/h) रेलगाड़ी की चाल है ।
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द्विघात समीकरण किसे कहते हैं ?
ऐसी समीकरण द्विघात समीकरण कहलाती है जिसमें x की उच्चतम घात 2 हो तथा समीकरण ax2+bx+c = 0 रूप में परिवर्तित की जा सके, जहां a,b,c वास्तविक संख्याएं हैं । उदाहरण के लिए 2x2+3x-4=0, x2-1=0, 4x-3x2+5=0 आदि सभी द्विघात समीकरण हैं ।
द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या है ?
ax2+bx+c = 0, a≠0 द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।
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