प्रश्‍नावली 4.2 कक्षा 10 गणित 2023-24 | Exercise 4.2 class 10 maths solutions in hindi

Ncert class 10 maths exercise 4.2 | Exercise 4.2 class 10 Maths | कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 4.2 | प्रश्‍नावली 4.2 कक्षा 10 गणित | Ncert maths solutions in hindi |

गुणनखण्‍ड विधि से द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करना – जैसे द्विघात बहुपद के शुन्‍यक ज्ञात करते हैं वैसे ही द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं ।  इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं ।

x²+5x+6 = 0

चरण I – सबसे पहले x² का गुणांक तथा अचर पद का गुणनफल करते हैं ।

        x² का गुणांक x अचर पद = 1×6 = 6

चरण II – अब x के गुणांक 5 को ऐसी दो संख्‍याओं के रूप में लिखते हैं जिनका गुणा करने पर 6(x² का गुणांक x अचर पद) आए तथा योग करने पर 5 (x का गुणांक) आए ।

x²+5x+6 = 0

x²+2x+3x+6 = 0

x(x+2) +3(x+2) = 0

(x+3)(x+2) = 0

x+3 = 0 या x+2 = 0

x = -3 या x = -2

अत: द्विघात समीकरण के मूल -3 और -2 हैं ।

प्रश्‍नावली 4.2 कक्षा 10 गणित समाधान

प्रश्‍न 1. गुणनखण्‍ड विधि से निम्‍न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए ।

(i) x²-3x-10 = 0

(ii) 2x² + x – 6 = 0

(iii) \sqrt{2}x^{2} +7x + 5\sqrt{2} = 0

(iv) 2x² – x +  = 0

(v) 100x² -20x +1 = 0

हल :-  (i) x²-3x-10 = 0

       x² – 5x + 2x – 10 = 0

       x(x-5) +2(x-5) = 0

       (x+2)(x-5) = 0

       x+2 = 0 या x-5 = 0

       x = -2 या x = 5

अत: द्विघात समीकरण के मूल -2 और 5 हैं ।

(ii) 2x² + x – 6 = 0

2x² + 4x – 3x – 6 = 0

2x(x+2) -3(x+2) = 0

(2x-3)(x+2) = 0

2x+3 = 0 या x+2 = 0

2x = -3 या x = -2

x = \frac{-3}{2} याx = -2

अत: द्विघात समीकरण के मूल -2 और \frac{-3}{2}  हैं ।

(iii) \sqrt{2}x^{2} +7x + 5\sqrt{2} = 0

\sqrt{2}x^{2} +2x + 5x + 5\sqrt{2} = 0

\sqrt{2}x(x+\sqrt{2}) +5(x+\sqrt{2}) = 0

(\sqrt{2}x+5)(x+\sqrt{2}) = 0

\sqrt{2}x+5 = 0 या x+\sqrt{2} = 0

x = \frac{-5}{ \sqrt{2} } या x = -\sqrt{2}

अत: द्विघात समीकरण के मूल \frac{-5}{ \sqrt{2} } और -\sqrt{2}  हैं ।

(iv) 2x² – x + \frac{1}{8} = 0

दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर

8 x (2x² – x + \frac{1}{8}) = 8×0

16x² – 8x + 1 = 0

16x² – 4x – 4x + 1 = 0

4x(4x-1) -1(4x-1) = 0

(4x-1)(4x-1) = 0

4x-1 = 0 या 4x-1 = 0

x = \frac{1}{4}  या x =  \frac{1}{4}

अत: द्विघात समीकरण के मूल \frac{1}{4} और \frac{1}{4} हैं ।

(v) 100x² -20x +1 = 0

100x² -10x -10x +1 = 0

10x(10x-1) -1(10x-1) = 0

(10x-1)(10x-1) = 0

10x-1 = 0 या 10x-1 = 0

x = \frac{1}{10} या x =  \frac{1}{10}

अत: द्विघात समीकरण के मूल \frac{1}{10} और \frac{1}{10} हैं ।

प्रश्‍न 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्‍याओं को हल कीजिए ।

(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं । दोनों पांच-पांच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्‍या का गुणनफल 124 है । हम जाना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे ।

(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है । प्रत्‍येक खिलौने का मूल्‍य (रू में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौने की संख्‍या को घटाने से प्राप्‍त संख्‍या के बराबर है । किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत रू 750 थी । हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्‍या ज्ञात करना चाहेंगे ।

हल :- (i) माना जॉन के पास कंचों की संख्‍या = x

तो जीवंती के पास कंचों की संख्‍या = 45-x

पांच कंचे खो देने के बाद जॉन के पास शेष कंचों की संख्‍या = x-5

पांच कंचे खो देने के बाद जीवंती के पास शेष कंचों की संख्‍या = 45-x-5 = 40-x

उनका गुणनफल = 124

(x-5)(40-x) = 124

40x – x² -200 + 5x = 124

-x² +45x -200 -124 = 0

-x² +45x -324 = 0

x² -45x +324 = 0

x² -36x -9x +324 = 0

x(x-36) -9(x-36) = 0

(x-9)(x-36) = 0

x-9 = 0 या x-36 = 0

x = 9 या x = 36

अत: उनके पास आरंभ में 9 तथा 36 कंचे थे ।

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्‍या = x

तथा प्रत्‍येक खिलौने की निर्माण लाग‍त = 55-x रू में

उस दिन निर्मित सभी खिलौनों की कुल निर्माण लागत = x(55-x)

x(55-x) = 750

55x – x² = 750

-x² + 55x – 750 = 0

x² – 55x + 750 = 0

x² – 30x – 25x + 750 = 0

x(x-30) -25(x-30) = 0

(x-25)(x-30) = 0

x-25 = 0 या x-30 = 0

x = 25 या x = 30

अत: उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्‍या 25 या 30 है ।

प्रश्‍न 3. ऐसी दो संख्‍याएं ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 तथा गुणनफल 182 हो ।

हल :- माना प्रथम संख्‍या x है ।

तो दूसरी संख्‍या = 27-x (क्‍योंकि दोनों संख्‍याओं का योग 27 है)

दोनों संख्‍याओं का गुणनफल = 182

x(27-x) = 182

27x – x² = 182

-x² + 27x -182 = 0

x² – 27x + 182 = 0

x² -14x –13x + 182 = 0

x(x-14) -13(x-14) = 0

(x-13)(x-14) = 0

x = 13 तथा x = 14

अत: दोनों संख्‍याएं 13 व 14 हैं ।

प्रश्‍न 4. दो क्रमागत धनात्‍मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 है ।

हल :- माना दो क्रमागत धनात्‍मक पूर्णांक x व x+1 हैं ।

धनात्‍मक पूर्णोंको के वर्गों का योग = 365

x² + (x+1)² = 365

x² + x² + 2x + 1 = 365

2x² + 2x + 1 – 365 = 0

2x² + 2x – 364 = 0

दोनों पक्षों में 2 का भाग करने पर

x² + x – 182 = 0

x² + 14x – 13x – 182 = 0

x(x+14) -13(x+14) = 0

(x-13)(x+14) = 0

x-13 = 0 या x+14 = 0

x = 13 या x = -14 (यह संभव नहीं क्‍योंकी यह धनात्‍मक पूर्णांक नहीं है )

अत: धनात्‍मक पूर्णांक क्रमश: 13 व 14 हैं ।

प्रश्‍न 5. एक समकोण त्रिभुज की उंचाई इसके आधार से 7cm कम है । यदि कर्ण 13cm का हो, तो अन्‍य दो भुजाएं ज्ञात कीजिए ।

हल:- माना समकोण त्रिभुज का आधार x cm है ।

तो उंचाई = x-7 cm

कर्ण = 13cm

हम जानते हैं कि (कर्ण)² = (आधार)² + (लम्‍ब)²

(13)² = x² + (x-7)²

169 = x² + x² -14x + 49

169 = 2x² -14x +49

169 -2x² +14x -49 = 0

-2x² + 14x + 120 = 0

2x² – 14x – 120 = 0

दोनों पक्षों में 2 का भाग करने पर

x² – 7x – 60 = 0

x² -12x + 5x – 60 = 0

x(x-12) +5(x-12) = 0

(x-12) (x+5) = 0

x-12 = 0 या x+5 = 0

x = 12 या x = -5 (यह संभव नहीं क्‍योंकि लम्‍बाई ऋणात्‍मक नहीं होती)

अत: आधार = 12 cm

उंचाई = 12-7 = 5 cm

प्रश्‍न 6. एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है । एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्‍येक नग की निर्माण लागत (रू में) उस दिन निर्माण किए गए बर्तनों के दुगुने से 3 अधिक थी । यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत रू 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्‍या तथा प्रत्‍येक नग की लागत ज्ञात कीजिए ।

हल:- माना उस विशेष दिन निर्माण किए गए बर्तनों की संख्‍या = x

प्रत्‍येक नग की लागत = बर्तनों की संख्‍या के दुगुने से 3 अधिक अर्थात

                    = 2x+3

उस दिन सभी बर्तनों की कुल निर्माण लागत = x(2x+3)

x(2x+3) = 90

2x² + 3x = 90

2x² + 3x – 90 = 0

2x² -12x + 15x – 90 = 0

2x(x-6) + 15(x-6) = 0

(x-6)(2x+15) = 0

x-6 = 0 या 2x+15 = 0

x = 6 या x = \frac{-15}{2} (यह संभव नहीं क्‍योंकि बर्तनों की संख्‍या ऋणात्‍मक नहीं हो सकती)

अत: निर्मित बर्तनों की संख्‍या = 6

तथा प्रत्‍येक नग की लागत = 2x+3 = 2(6)+3 = 15 रू

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