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प्रश्नावली 6.3 कक्षा 10 गणित में हम त्रिभुजों की समानुपातिकता के लिए कसौटीयों के आधार पर त्रिभुजों को समरूप सिंद्ध करेंगे ।
त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटीयाँ :– दो त्रिभुजों \Delta ABC व \Delta DEF का आपस में समरूप होने के लिए निम्न तीन कसौटयाँ हैं ।
1. AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में तीनों संगत कोण बराबर हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे, इस कसौटी को AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी कहा जाता है ।
LA = LD, LB = LE तथा LC = LF तो \Delta ABC\sim \Delta DEF
नोट – यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों तो त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 1800 के आधार पर इनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे । इस कसौटी को निम्न प्रकार भी लिखा जाता है –
यदि एक त्रिभुज के दो कोण अन्य दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे इस कसौटी को AA समरूपता कसौटी कहा जाता है ।
2. SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में हों तो दोनों त्रिभुज आपस में समरूप होंगे, इस कसौटी को SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी कहा जाता है।
\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{DF} हो तो \Delta ABC\sim \Delta DEF
3. SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी :- यदि दो त्रिभुजों में एक संगत कोण बराबर हो तथा दो संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में हों तो दोनों त्रिभुज समरूप होंगे, इस कसौटी को SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी कहा जाता है ।
प्रश्नावली 6.3 कक्षा 10 गणित समाधान
प्रश्न 1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं । उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए ।
हल :- 1(i) LA = LP = 600
LB = LQ = 800
LC = LR = 400
तीनों संगत कोण बराबर हैं अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं अर्थात \Delta ABC\sim \Delta PQR
(ii) AB = 2, PQ = 6
BC = 2.5, QR = 4
AC = 3, PR = 5
\frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\ \frac{BC}{PR} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2}\\ \frac{AC}{PQ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\ \frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{AC}{PQ}तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में है अत: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज समरूप हैं । अत: \Delta ABC\sim \Delta QRP
(iii) LM = 2.5, MP = 2, LP = 3
DE = 4, EF = 5, DF = 6
\frac{LM}{EF} = \frac{2.7}{5}\\ \frac{MP}{DE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\ \frac{LP}{DF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\तीनों संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में नहीं हैं अत: दोनों त्रिभुज आपस में समरूप नहीं हैं ।
(iv) LM = 700, MN = 2.5, ML = 5
LQ = 700, PQ = 5, QR = 10
LM = LQ = 700
SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं ।
अत: \Delta MNL\sim \Delta QPR
(v) LA = 800, AB = 2.5, BC = 3
LF = 800, DF = 5, EF = 6
LB \neq LF
संगत कोण बराबर नहीं हैं अत: दोनों त्रिभुज आपस में समरूप नहीं हैं ।
(vi) LD = 700, LE = 800
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 1800 के आधार पर
LF = 1800 – (70+80)0
LF = 1800 – 1500 = 300
LF = 300
LQ = 800, LR = 300
इसी प्रकार LP = 1800 – (30+80)0
LP = 1800 – 1100 = 700
LP = 700
LD = LP = 700
LE = LQ = 800
LF = LR = 300
तीनों संगत कोण बराबर हैं अत: अत: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर दोनों त्रिभुज आपस में समरूप हैं अर्थात \Delta DEF\sim \Delta QRP
प्रश्न 2. आकृति 6.35 में , LBOC = 1250 और LCDO = 700 है ।LDOC , LDCO औरLOAB ज्ञात कीजिए ।
हल :-
दिया गया है – \Delta ODC\sim \Delta OBC
LBOC = 1250 , LCDO = 700
LDOC , LDCO और LAOB = ?
LDOC + LBOC = 1800 [ रैखिक युग्म कोण अर्थात एक ही रेखा पर बने कोण ]
LDOC + 1250 = 1800
LDOC = 1800 – 1250
LDOC = 550
\Delta ODC में
LDCO + LDOC + LCDO = 1800 [ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 1800 होता है ]
LDCO + 550 + 700 = 1800
LDCO + 1250 = 1800
LDCO = 1800 – 1250
LDCO = 550
यदि \Delta ODC\sim \Delta OBC हैं तो इसके संगत कोण बराबर होंगे ।
अत: LDCO = LAOB
LAOB = 550
अत: LDOC = 550, LDCO = 550 और LAOB = 550
प्रश्न 3. समलंब ABCDजिसमें AB II DC है , के विकर्ण AC और BD परस्पर Oपर प्रतिच्छेद करते हैं । दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}} है ।
हल :-
दिया गया है – ABCD समलंब है तथा AB II DC
सिद्ध करना है – \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}
उपपत्ति :- LAOB = LCOD ( शीर्षाभिमुख कोण )
क्योंकि AB II DC है तथा दोनों को तिर्यक रेखा AC काटती है तो
LOAB = LCOD ( एकान्तर कोण )
\Delta AOB व \Delta COD में
LAOB = LCOD
LOAB = LCOD
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta AOB\sim \Delta COD हैं
इनकी संगत भुजाऐं एक ही अनुपात में होंगी
अत: \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}
प्रश्न 4. आकृति 6.36 में \mathbf{\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}} तथा L1 = L2 हैं तो दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta PQS\sim \Delta TQR} हैं ।
हल :-
दिया गया है – \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} तथा L1 = L2
सिद्ध करना है – \Delta PQS\sim \Delta TQR
उपपत्ति :- \Delta PQS में
L1 = L2 ( दिया गया है )
हम जानते हैं कि समान कोणों की सम्मुख भुजाऐं समान होती हैं
इसलिए PQ = PR
दिया है कि \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}
\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ} ( PQ = PR )
\Delta PQS व \Delta TQR में
LPQS =LTQR = L1 ( उभयनिष्ठ कोण )
अत: SAS समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta PQS\sim \Delta TQRप्रश्न 5. \mathbf{ \Delta PQR} की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित है कि LP =LRTS है । दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta PQS\sim \Delta TQR} हैं ।
हल :-
दिया गया है – LP =LRTS
सिद्ध करना है – \Delta PQS\sim \Delta TQR हैं ।
उपपत्ति :- \Delta RPQ व \Delta RTS में
LP =LRTS ( दिया गया है )
LPQR =LSRT (उभयनिष्ठ कोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta PQS\sim \Delta TQR हैं ।
प्रश्न 6. आकृति 6.37 में यदि \mathbf{\Delta ABE \simeq \Delta ACD} हैं तो दर्शाइए कि \mathbf{ \Delta ADE \sim \Delta ABC} हैं ।
हल :-
दिया गया है – \Delta ABE \simeq \Delta ACD हैं
अर्थात \Delta ABE तथा \Delta ACD सर्वांगसम हैं ।
सिद्ध करना है – \Delta ACE \sim \Delta ABC हैं ।
उपपत्ति :- क्योंकि \Delta ABE \simeq \Delta ACD हैं
हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाऐं बराबर होती हैं
इसलिए AB = AC
\frac{AB}{AC} = 1 ………….. (i)
तथा AE = AD
1 = \frac{AD}{AE} …………… (ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}AB X AE = AD X AC
\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}LDAE = LBAC ( उभयनिष्ठ कोण )
अत: SAS समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ACE \sim \Delta ABC हैं ।
प्रश्न 7. आकृति 6.38 में के शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं । दर्शाइए कि :
(i) \mathbf{\Delta AEP \sim \Delta CDP}
(ii) \mathbf{\Delta ABD \sim \Delta CBE}
(iii) \mathbf{\Delta AEP \sim \Delta ADB}
(iv) \mathbf{\Delta PDC \sim \Delta BEC}
हल :-
(i) सिद्ध करना है – \Delta AEP \sim \Delta CDP
उपपत्ति :- \Delta AEP व \Delta CDP में
LAEP = LCDP ( अभिलम्ब )
LAPE = LCPD ( शीर्षाभिमुख कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta AEP \sim \Delta CDP हैं ।
(ii) सिद्ध करना है – \Delta ABD \sim \Delta CBE
उपपत्ति :- \Delta ABD व \Delta CBE में
LADB = LCEB ( अभिलम्ब )
LABD = LCBE (उभयनिष्ठ कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABD \sim \Delta CBE हैं ।
(iii) सिद्ध करना है – \Delta AEP \sim \Delta ADB
उपपत्ति :- \Delta AEP व \Delta ADB में
LAEP = LADB ( अभिलम्ब )
LPAE = LDAB (उभयनिष्ठ कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta AEP \sim \Delta ADB हैं ।
(iv) सिद्ध करना है – \Delta PDC \sim \Delta BEC
उपपत्ति :- \Delta PDC व \Delta BEC में
LPDC = LBEC ( अभिलम्ब )
LPCD = LBCE (उभयनिष्ठ कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta PDC \sim \Delta BEC हैं ।
प्रश्न 8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है । दर्शाइए कि \mathbf {\Delta ABE \sim \Delta CFB} हैं ।
हल :-
दिया गया है – ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ।
सिद्ध करना है – \Delta ABE \sim \Delta CFB
उपपत्ति :- यदि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तो AD II BC होंगी ।
AD को E तक बढ़ाया है इसलिए AE II BC होंगी ।
AE व BC तिर्यक रेखा BE काटती है तो
LAEB = LCBE ( एकान्तर कोण )
LEAB = LFCB ( समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं । )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABE \sim \Delta CFB हैं ।
प्रश्न 9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं , जिनके कोण B और M समकोण हैं । सिद्ध कीजिए कि :
(i) \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta AMP}
(ii) \mathbf{\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}}
हल :-
(i) \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta AMP}
दिया गया है – LB =LM (समकोण)
सिद्ध करना है – \Delta ABC \sim \Delta AMP
उपपत्ति :- \Delta ABC व \Delta AMP में
LB =LM (समकोण)
LCAB = LMAP ( उभयनिष्ठ कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABC \sim \Delta AMP हैं ।
(ii) सिद्ध करना है – \mathbf{\frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}}
उपपत्ति :- \Delta ABC व \Delta AMP में
LB =LM (समकोण)
LCAB = LMAP ( उभयनिष्ठ कोण )
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABC \sim \Delta AMP हैं तो
इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी
अत: \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP}
प्रश्न 10. CD और GH क्रमश: LACB और LEGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: और की भुजाओं AB और FE पर स्थित है ।
यदि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta FEG} है तो दर्शाइए कि :
(i) \mathbf{\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}}
(ii) \mathbf{\Delta DCB \sim \Delta HGE}
(iii) \mathbf{\Delta DCA \sim \Delta HGF}
हल :-
(i) \mathbf{\frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}}
दिया गया है – \Delta ABC \sim \Delta FEG
सिद्ध करना है – \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}
उपपत्ति :- यदि \Delta ABC \sim \Delta FEG हैं तो
LA = LF [ संगत कोण बराबर होंगे ]
तथा LACB = LFGE
LACB/2 = LFGE/2
LACD = LFGH (समद्विभाजक कोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ACD \sim \Delta FGH हैं तो
इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी
अत: \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG}
(ii) \mathbf{\Delta DCB \sim \Delta HGE}
दिया गया है – \Delta ABC \sim \Delta FEG
सिद्ध करना है – \Delta DCB \sim \Delta HGE
उपपत्ति :- यदि \Delta ABC \sim \Delta FEG हैं तो
LDBC = LHEG [ संगत कोण बराबर होंगे ]
तथा LACB = LFGE
LACB/2 = LFGE/2
LDCB = LHGE (समद्विभाजक कोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta DCB \sim \Delta HGE(iii) \mathbf{\Delta DCA \sim \Delta HGF}
दिया गया है – \Delta ABC \sim \Delta FEG
सिद्ध करना है – \Delta DCA \sim \Delta HGF
उपपत्ति :- यदि \Delta ABC \sim \Delta FEG हैं तो
LCAD = LGFE [ संगत कोण बराबर होंगे ]
तथा LACB = LFGE
LACB/2 = LFGE/2
LACD = LFGH (समद्विभाजक कोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta DCA \sim \Delta HGF
प्रश्न 11. आकृति 6.40 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है । यदि AD \perp BC और EF \perp AC है तो सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\Delta ABD \sim \Delta ECF} हैं ।
हल :-
दिया गया है – AB = AC और EF \perp AC है
सिद्ध करना है – \Delta ABD \sim \Delta ECF हैं ।
उपपत्ति :- AB = AC अर्थात त्रिभुज ABC समद्विबाहु है
इसलिए इसके सम्मुख कोण बराबर होंगे
LB = LC
LADB = LEFC (समकोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABD \sim \Delta ECF
प्रश्न 12. एक त्रिभुज ABC की भुजाऐं AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमश: भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है (देखिए आकृति 6.41) । दर्शाइए कि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} हैं ।
हल :-
दिया गया है – \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}
सिद्ध करना – \Delta ABC \sim \Delta PQR
उपपत्ति :- \Delta ABC में माध्यिका AD है तो D, BC का मध्यबिंदु है इसलिए
BD = DC
समद्विबाहु त्रिभुज में
BC = BD + DC
BC = BD + BD
BC = 2BD
इसी प्रकार \Delta PQR में माध्यिका PM है तो M, QR का मध्यबिंदु है इसलिए
QM = MR
समद्विबाहु त्रिभुज में
QR = QM + MR
QR = QM + QM
QR = 2QM
दिया गया है \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}\\
\frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM}\\ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}S-S-S समानुपातिकता कसौटी के आधार पर
\Delta ABD \sim \Delta PQMयदि \Delta ABD \sim \Delta PQM हैं तो इनके संगत कोण बराबर होंगे
अत: LB = LQ
\Delta ABC व \Delta PQR में
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} व LB = LQ
है तो S-A-S समानुपातिकता प्रमेय के आधार पर
\Delta ABC \sim \Delta PQR
प्रश्न 13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि LADC = LBAC है । दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है ।
हल :-
दिया गया है – LADC = LBAC
सिद्ध करना है – CA2 = CB.CD
उपपत्ति :- \Delta ADC व \Delta BAC में
LADC = LBAC (दिया है)
LACD = LACB (उभयनिष्ठ कोण)
अत: A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ADC \sim \Delta BACअत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी ।
AC2 = BC.CD
CA2 = CB.CD
प्रश्न 14. एक त्रिभुज ABC की भुजाऐं AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमश: समानुपाती हैं। दर्शाइए कि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} हैं ।
हल :-
दिया गया है – AB, AC व AD क्रमश: PQ, PR व PM के समानुपाती हैं अर्थात \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}
सिद्ध करना है – \Delta ABC \sim \Delta PQR हैं ।
रचना – \Delta ABC में माध्यिका AD को E तक इस प्रकार बढ़ाऐं कि AD = DE तथा E को B व C से मिलाऐं ।
इसी प्रकार \Delta PQR में माध्यिका PM को N तक इस प्रकार बढ़ाऐं कि PM = MN तथा N को Q व R से मिलाऐं ।
उपपत्ति :- AD = DE (रचना से)
BD = DC ( AD माध्यिका है )
अत: विकर्ण समद्विभाजत करते हैं अत: ABEC समान्तर चतुर्भुज है ।
चतुर्भुज ABEC में BE = AC
\frac{BE}{AC} = 1 ………..(i)
इसी प्रकार चतुर्भुज PMNR में QN = PR
\frac{QN}{PR} = 1 ………… (ii)
समीकरण (i) व (ii) से
\frac{BE}{AC}=\frac{QN}{PR}\\\frac{BE}{QN}=\frac{AC}{PR} ………….(iii)
इसी प्रकार \frac{AD}{PM}=\frac{2AD}{2PM}//
\frac{AD}{PM}=\frac{AE}{PN} ……….. (iv)
दिया गया है – \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM}
समीकरण (iii) व (iv) से
\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PN}S-S-S समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABE \sim \Delta PQNअत: LBAE = LQPN ……..(v)
इसी प्रकार
अत: LEAC = LNPR …….. (vi)
समीकरण (v) व (vi) जोड़ने पर
LBAE + LEAC = LQPN + LNPR
\Delta ABC व \Delta PQR में
\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} तथा LA = LP
S-A-S समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABC \sim \Delta PQR
प्रश्न 15. 6 मीटर लम्बाई वाले एक उर्ध्वाधर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है , जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 मीटर है । मीनार की उँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :-
\Delta ABE व \Delta CDE में
LAEB = LCED (उभयनिष्ठ कोण)
LABE = LCDE (अभिलम्ब)
A-A समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABE \sim \Delta CDEअत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी
\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}\\ \frac{h}{6} = \frac{28}{4}\\h = \frac {28\times6}{4}
h = 42 मीटर
अत: मीनार की उँचाई 42 मीटर है ।
प्रश्न 16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमश: माध्यिकाऍं हैं जबकि \mathbf{\Delta ABC \sim \Delta PQR} है । सिद्ध कीजिए कि \mathbf{\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}} है ।
हल :-
दिया गया है – \Delta ABC \sim \Delta PQR
सिद्ध करना है – \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}
उपपत्ति :- \Delta ABC में माध्यिका AD है तो D, BC का मध्यबिन्दु होगा ।
अत: BD = DC
BC = BD + DC
BC = BD + BD (क्योंकि BD = DC)
BC = 2BD …….. (i)
इसी प्रकार में माध्यिका PM है तो M, QR का मध्यबिन्दु होगा ।
अत: QM = MR
QR = QM + MR
QR = QM +QM (क्योंकि QM = MR)
QR = 2QM ………… (ii)
यदि \Delta ABC \sim \Delta PQR हैं तो
\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}\\ \frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM}\\ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM}(समीकरण i व ii से )
तथा LB = LQ
S-A-S समरूपता कसौटी के आधार पर
\Delta ABD \sim \Delta PQMअत: इनकी संगत भुजाऐं समानुपाती होंगी
\frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM}\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM}
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