प्रश्‍नावली 3.3 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | NCERT Exercise 3.3 class 10 maths in hindi

NCERT Exercise 3.3 class 10 maths में हम रैखिक समीकरण युग्‍म को प्रतिस्‍थापन विधि (बीजगणितीय विधि) से हल ज्ञात करेंगे ।

प्रतिस्‍थापन विधि : इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं – माना निम्‍न रैखिक समी‍करण युग्‍म है

7x-15y = 2 ……………………………. (i)

x+2y = 3 ………………………………… (ii)

step (i) हम किसी एक समीकरण को लेकर एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखते हैं ।

         समीकरण (ii) से  x+2y = 3

                       x = 3-2y ……………………… (iii)

step (ii) x का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्‍थापन करने पर

        7(3-2y) – 15y = 2

 21 – 14y – 15y = 2

 -29y = -19

  y =  \frac{19}{29}

step (iii) y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्‍थापित करने पर

             x = 3 -2y

             x = 3-2(\frac{19}{29})

          x =  3-\frac{38}{29} = \frac{87-38}{29} = \frac{49}{29}

x = \frac{49}{29}

             अत: हल x = \frac{49}{29} , y = \frac{19}{29}

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 3.3 समाधान

प्रश्‍न 1. निम्‍न रैखिक समी‍करण युग्‍म को प्रतिस्‍थापन विधि से हल कीजिए :

(i) x+y = 14    (ii) s-t = 3     

x-y = 4       \frac{s}{3}-\frac{t}{2} = 6 

(iii) 3x-y = 3     (iv) 0.2x+0.3y = 1.3     

9x-3y = 9        0.4x+0.5y = 2.3       

(v)  \sqrt{2} x+ \sqrt{3}y = 0 (vi) \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2

      \sqrt{3} x- \sqrt{8}y = 0 \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}

हल :- उत्‍तर (i) x+y = 14   ………………….. (i)

              x-y = 4      …………………… (ii)

समीकरण (ii) से x – y = 4

तो x = 4+y …………………. (iii)

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

(4+y) + y = 14

4+2y = 14

2y = 14 – 4

2y =  10

y = 5

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = 4+5

x = 9

अत: हल x = 9, y = 5

उत्‍तर (ii) s – t = 3 ………………. (i)

    \frac{s}{3} - \frac{t}{2} = 6 ………………. (ii)

समीकरण (i) से

s – t = 3

s = 3 + t

s का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

   \frac{3+t}{3} - \frac{t}{2} = 6

   \frac{2(3+t)+3t}{6}= 6

6+ 2t + 3t = 36

5t = 30

t =  \frac{30}{5}

t = 6

t का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

       s = 3 + 6

       s = 9

अत: हल s = 9, t = 6

उत्‍तर (iii) 3x-y = 3  ……………….. (i)

         9x-3y = 9 ………………….. (ii)

समीकरण (i) से

3x-y = 3

3x – 3 = y …………………….. (iii)

y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

9x – 3(3x-3) = 9

9x – 9x + 9 = 9

9 = 9

यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्‍य है । यह स्थिति इसलिए पैदा हुई है कि दोनों समीकरण एक ही है । अत: इस रैखिक समीकरण युग्‍म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं ।

उत्‍तर (iv) 0.2x+0.3y = 1.3 …………………… (i)

          0.4x+0.5y = 2.3 …………………. (ii)

समीकरण (i) से

0.2x+0.3y = 1.3

0.2x = 1.3 – 0.3y

x =   \frac{1.3-0.3y}{0.2} ………………….. (iii)

x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

0.4(\frac{1.3-0.3y}{0.2})  + 0.5y = 2.3

2(1.3 – 0.3y) + 0.5y = 2.3   [ चूंकी  \frac{0.4}{0.2} = 2 ]

2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3

2.6 – 2.3 = 0.6y – 0.5y

0.3 = 0.1y

y = \frac{0.3}{0.1} = 3

y = 3

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x =  \frac{1.3-0.3(3)}{0.2} = \frac{1.3-0.9}{0.2} = \frac{0.4}{0.2} = 2

x = 2

अत: हल x = 2, y = 3

उत्‍तर (v) \sqrt{2} x+ \sqrt{3}y = 0 ………………… (i)

         \sqrt{3} x- \sqrt{8}y = 0 ………………….. (ii)

समीकरण (i) से

\sqrt{2} x+ \sqrt{3}y = 0

and \sqrt{3}y = - \sqrt{2}x

 y =  \frac{- \sqrt{2}x }{ \sqrt{3} } …………… (iii)

y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

\sqrt{3}x- \sqrt{8}(- \sqrt{2}x)=0 ,

\sqrt{3}x+ \frac{ \sqrt{16}x }{ \sqrt{3} } = 0 ,

\sqrt{3}x+ \frac{ 4x}{ \sqrt{3} } = 0 ,

\frac{3x+4x}{ \sqrt{3} }

7x = 0

x = 0

x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

y =  \frac{- \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }x0 = 0

y = 0

अत: हल x = 0, y = 0

उत्‍तर (vi)  \frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2   ………………….. (i)

              \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6} ……………….. (ii)

समीकरण (ii) से

 \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6} ,

\frac{2x+3y}{6} = \frac{13}{6}

2x+3y = 13

3y = 13 – 2x

y =  \frac{13-2x}{3} ………………….. (iii)

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

   \frac{3x}{2} - \frac{5}{3}( \frac{13-2x}{3}) = -2

   \frac{3x}{2} - \frac{(65-10x)}{9} = -2

  \frac{27x-2(65-10x)}{18}  = -2

 \frac{27x-130+20x}{18}  = -2

 47x -130 = -36

47x = 130 – 36

47x = 94

x = \frac{94}{47}

x = 2

x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

y = \frac{13-2(2)}{3} = \frac{13-4}{3} = \frac{9}{3}  = 3

y = 3

अत: हल x = 2, y = 3

प्रश्‍न 2. 2x+3y = 11 और 2x-4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx+3 हो ।

हल :- 2x+3y = 11…………………… (i)

2x-4y = -24 …………………. (ii)

समीकरण (i) से

2x + 3y = 11

2x = 11 – 3y

x =  \frac{11-3y}{2}

x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

2 (\frac{11-3y}{2}) – 4y = -24

11 – 3y – 4y = -24

-7y = -35

y = 5

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = \frac{11-3(5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2

x = -2

अत: हल x = -2, y = 5

चूंकी y = mx+3

x = -2 तथा y = 5 रखने पर

5 = m(-2) + 3

-2m = 2

m = \frac{-2}{2} = -1

m = -1

प्रश्‍न 3. निम्‍न समस्‍याओं में रैखिक समीकरण युग्‍म बनाइए और उनके हल प्रतिस्‍थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।

(i) दो संख्‍याओं का अंतर 26 है और एक संख्‍या, दूसरी संख्‍या की तीन गुनी है । उन्‍हे ज्ञात कीजिए ?

हल :- माना एक संख्‍या x तथा दूसरी संख्‍या y है ।

दोनों संख्‍याओं का अंतर = 26

अर्थात   x – y = 26 ………………………… (i)

पहली संख्‍या = 3 x दूसरी संख्‍या

x = 3y …………………………. (ii)

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

3y – y = 26

2y = 26

y = 13

y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

x = 3(13) = 39

x = 39

अत: पहली संख्‍या 39 तथा दूसरी संख्‍या 13 है ।

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 अधिक है, उन्‍हे ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना बड़ा कोण x तथा छोटा कोण y है ।

बड़ा कोण = छोटा कोण + 18

x = y + 18 ………………………. (i)

हम जानते हैं कि दो संपूरक कोणों का योग 180⁰ होता है ।

x + y = 180 …………………… (ii)

समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर

(y+18) + y = 180

2y = 180 – 18

2y = 162

y = 81

y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

x = 81 + 18 = 99

x = 99

अत: बड़ा कोण 99⁰ तथा छोटा कोण 81⁰ है ।

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्‍ले तथा 6 गेंदें रू 3800 में खरीदी । बाद में उसने 3 बल्‍ले तथा 5 गेंदें रू 1750 रू में खरीदी । प्रत्‍येक बल्‍ले तथा प्रत्‍येक गेंद का मूल्‍य ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना प्रत्‍येक बल्‍ले का मूल्‍य x रू तथा प्रत्‍येक गेंद का मूल्‍य y रू है ।

प्रश्‍नानुसार 7x+6y = 3800 ……………………….. (i)

          3x+5y = 1750 ………………………. (ii)

समीकरण (ii) से

3x+5y = 1750

3x = 1750 – 5y

x = \frac{1750-5y}{3}  ……………… (iii)

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

7 (\frac{1750-5y}{3}) + 6y = 3800

7(\frac{1750-5y}{3})  = 3800 – 6y

7(1750-5y) = 3(3800-6y)

12250 – 35y = 11400 – 18y

12250 – 11400 = 35y – 18y

850 = 17y

y =  \frac{850}{17} = 50

y = 50

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = \frac{1750-5(50)}{3} = \frac{1500}{3} = 500

x = 500

अत: प्रत्‍येक बल्‍ले का मूल्‍य 500 रू तथा प्रत्‍येक गेंद का मूल्‍य 50 रू है ।

(iv) एक नगर में टैक्‍सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिकत चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है । 10km दूरी के लिए भाड़ा रू 105 तथा 15km दूरी के लिए भाड़ा रू 155 है । नियत भाडा तथा प्रति km भाड़ा क्‍या है ? एक व्‍यक्ति को 25km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ?

हल :- माना टैक्‍सी का नियत भाड़ा x रू तथा अतिरिक्‍त चली गई दूरी पर प्रति km भाड़ा y रू है तो

प्रश्‍नानुसार

10 km दूरी के‍ लिए भाड़ा = 105 रू

x+10y = 105 ………………. (i)

15 km दूरी के‍ लिए भाड़ा = 155 रू

x+15y = 155 ……………… (ii)

समीकरण (i) से

x = 105 – 10y …………… (iii)

x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर

(105-10y) + 15y = 155

5y = 155 – 105

5y = 50

y = 10

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = 105 – 10(10)

x = 105 – 100

x = 5

अत: नियत भाड़ा 5 रू तथा प्रति km भाड़ा 10 रू है ।

(v) यदि किसी भिन्‍न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो वह   हो जाती है । यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए वह   हो जाती है । वह भिन्‍न ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना भिन्‍न का अंश x तथा हर y है तो

प्रश्‍नानुसार     \frac{अंश+2}{हर+2} = \frac{9}{11} ,

\frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11}

        11(x+2) = 9(y+2)

         11x+22 = 9y+18

         11x – 9y = -4 ……………………. (i)

           तथा \frac{अंश+3}{हर+3} = \frac{5}{6} ,

\frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6}

          6(x+3) = 5(y+3)

             6x-5y = -3  …………………….. (ii)

समीकरण (ii) से

       6x = 5y – 3

       x =  \frac{5y-3}{6} …………………….. (iii)

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

11(\frac{5y-3}{6}) – 9y = -4

11( \frac{5y-3}{6} ) = 9y – 4

11(5y-3) = 6(9y-4)

55y – 33 = 54y – 24

55y – 54y = 33 – 24

y = 9

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = \frac{5(9)-3}{6} = \frac{42}{6} = 7

x = 7

अंश = 7, हर = 9

अत: भिन्‍न = \frac{7}{9}

(vi) पांच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी । पांच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी । उनकी वर्तमान आयु क्‍या है ?

हल :- माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है ।

पांच वर्ष बाद जैकब की आयु = x+5

पांच वर्ष बाद उसके पुत्र की आयु = y+5

तो प्रश्‍नानुसार        x+5 = 3(y+5)

                    x+5 = 3y + 15

                    x – 3y = 10 ………………….. (i)

पांच वर्ष पूर्व जैकब की आयु = x-5

पांच वर्ष पुर्व उसके पुत्र की आयु = y-5

तो     x-5 = 7(y-5)

       x – 5 = 7y – 35

       x – 7y = -30 ………………………. (ii)

समीकरण (ii) से

x = 7y – 30 ……………………….. (iii)

x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर

(7y-30) – 3y = 10

4y – 30 = 10

4y = 40

y = 10

y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर

x = 7(10) – 30

x = 70 – 30

x = 40

अत: जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है ।

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कक्षा 10 गणित समाधान

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