NCERT Exercise 3.3 class 10 maths में हम रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि (बीजगणितीय विधि) से हल ज्ञात करेंगे ।
प्रतिस्थापन विधि : इसे हम निम्न उदाहरण से समझते हैं – माना निम्न रैखिक समीकरण युग्म है
7x-15y = 2 ……………………………. (i)
x+2y = 3 ………………………………… (ii)
step (i) हम किसी एक समीकरण को लेकर एक चर को दूसरे चर के पदों में लिखते हैं ।
समीकरण (ii) से x+2y = 3
x = 3-2y ……………………… (iii)
step (ii) x का यह मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापन करने पर
7(3-2y) – 15y = 2
21 – 14y – 15y = 2
-29y = -19
y =
step (iii) y का यह मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 3 -2y
x =
x = = =
x =
अत: हल x = , y =
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 3.3 समाधान
प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i) x+y = 14 (ii) s-t = 3
x-y = 4 = 6
(iii) 3x-y = 3 (iv) 0.2x+0.3y = 1.3
9x-3y = 9 0.4x+0.5y = 2.3
(v) (vi)
हल :- उत्तर (i) x+y = 14 ………………….. (i)
x-y = 4 …………………… (ii)
समीकरण (ii) से x – y = 4
तो x = 4+y …………………. (iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
(4+y) + y = 14
4+2y = 14
2y = 14 – 4
2y = 10
y = 5
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 4+5
x = 9
अत: हल x = 9, y = 5
उत्तर (ii) s – t = 3 ………………. (i)
= 6 ………………. (ii)
समीकरण (i) से
s – t = 3
s = 3 + t
s का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
= 6
= 6
6+ 2t + 3t = 36
5t = 30
t =
t = 6
t का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
s = 3 + 6
s = 9
अत: हल s = 9, t = 6
उत्तर (iii) 3x-y = 3 ……………….. (i)
9x-3y = 9 ………………….. (ii)
समीकरण (i) से
3x-y = 3
3x – 3 = y …………………….. (iii)
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
9x – 3(3x-3) = 9
9x – 9x + 9 = 9
9 = 9
यह कथन x के सभी मानों के लिए सत्य है । यह स्थिति इसलिए पैदा हुई है कि दोनों समीकरण एक ही है । अत: इस रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं ।
उत्तर (iv) 0.2x+0.3y = 1.3 …………………… (i)
0.4x+0.5y = 2.3 …………………. (ii)
समीकरण (i) से
0.2x+0.3y = 1.3
0.2x = 1.3 – 0.3y
x = ………………….. (iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
0.4 + 0.5y = 2.3
2(1.3 – 0.3y) + 0.5y = 2.3 [ चूंकी ]
2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3
2.6 – 2.3 = 0.6y – 0.5y
0.3 = 0.1y
y =
y = 3
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x =
x = 2
अत: हल x = 2, y = 3
उत्तर (v) ………………… (i)
………………….. (ii)
समीकरण (i) से
and
y = …………… (iii)
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
,
,
,
7x = 0
x = 0
x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
y = x0 = 0
y = 0
अत: हल x = 0, y = 0
उत्तर (vi) ………………….. (i)
……………….. (ii)
समीकरण (ii) से
,
2x+3y = 13
3y = 13 – 2x
y = ………………….. (iii)
y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
= -2
= -2
= -2
= -2
47x -130 = -36
47x = 130 – 36
47x = 94
x =
x = 2
x का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
y = = 3
y = 3
अत: हल x = 2, y = 3
प्रश्न 2. 2x+3y = 11 और 2x-4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx+3 हो ।
हल :- 2x+3y = 11…………………… (i)
2x-4y = -24 …………………. (ii)
समीकरण (i) से
2x + 3y = 11
2x = 11 – 3y
x =
x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
2 () – 4y = -24
11 – 3y – 4y = -24
-7y = -35
y = 5
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x =
x = -2
अत: हल x = -2, y = 5
चूंकी y = mx+3
x = -2 तथा y = 5 रखने पर
5 = m(-2) + 3
-2m = 2
m =
m = -1
प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए ।
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या, दूसरी संख्या की तीन गुनी है । उन्हे ज्ञात कीजिए ?
हल :- माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है ।
दोनों संख्याओं का अंतर = 26
अर्थात x – y = 26 ………………………… (i)
पहली संख्या = 3 x दूसरी संख्या
x = 3y …………………………. (ii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
3y – y = 26
2y = 26
y = 13
y का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
x = 3(13) = 39
x = 39
अत: पहली संख्या 39 तथा दूसरी संख्या 13 है ।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 अधिक है, उन्हे ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना बड़ा कोण x तथा छोटा कोण y है ।
बड़ा कोण = छोटा कोण + 18
x = y + 18 ………………………. (i)
हम जानते हैं कि दो संपूरक कोणों का योग 1800 होता है ।
x + y = 180 …………………… (ii)
समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में रखने पर
(y+18) + y = 180
2y = 180 – 18
2y = 162
y = 81
y का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
x = 81 + 18 = 99
x = 99
अत: बड़ा कोण 990 तथा छोटा कोण 810 है ।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें रू 3800 में खरीदी । बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें रू 1750 रू में खरीदी । प्रत्येक बल्ले तथा प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना प्रत्येक बल्ले का मूल्य x रू तथा प्रत्येक गेंद का मूल्य y रू है ।
प्रश्नानुसार 7x+6y = 3800 ……………………….. (i)
3x+5y = 1750 ………………………. (ii)
समीकरण (ii) से
3x+5y = 1750
3x = 1750 – 5y
x = ……………… (iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
7 () + 6y = 3800
7() = 3800 – 6y
7(1750-5y) = 3(3800-6y)
12250 – 35y = 11400 – 18y
12250 – 11400 = 35y – 18y
850 = 17y
y =
y = 50
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x =
x = 500
अत: प्रत्येक बल्ले का मूल्य 500 रू तथा प्रत्येक गेंद का मूल्य 50 रू है ।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिकत चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है । 10km दूरी के लिए भाड़ा रू 105 तथा 15km दूरी के लिए भाड़ा रू 155 है । नियत भाडा तथा प्रति km भाड़ा क्या है ? एक व्यक्ति को 25km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा ?
हल :- माना टैक्सी का नियत भाड़ा x रू तथा अतिरिक्त चली गई दूरी पर प्रति km भाड़ा y रू है तो
प्रश्नानुसार
10 km दूरी के लिए भाड़ा = 105 रू
x+10y = 105 ………………. (i)
15 km दूरी के लिए भाड़ा = 155 रू
x+15y = 155 ……………… (ii)
समीकरण (i) से
x = 105 – 10y …………… (iii)
x का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
(105-10y) + 15y = 155
5y = 155 – 105
5y = 50
y = 10
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 105 – 10(10)
x = 105 – 100
x = 5
अत: नियत भाड़ा 5 रू तथा प्रति km भाड़ा 10 रू है ।
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो वह हो जाती है । यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए वह हो जाती है । वह भिन्न ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना भिन्न का अंश x तथा हर y है तो
प्रश्नानुसार ,
11(x+2) = 9(y+2)
11x+22 = 9y+18
11x – 9y = -4 ……………………. (i)
तथा ,
6(x+3) = 5(y+3)
6x-5y = -3 …………………….. (ii)
समीकरण (ii) से
6x = 5y – 3
x = …………………….. (iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
11() – 9y = -4
11( ) = 9y – 4
11(5y-3) = 6(9y-4)
55y – 33 = 54y – 24
55y – 54y = 33 – 24
y = 9
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x =
x = 7
अंश = 7, हर = 9
अत: भिन्न =
(vi) पांच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी । पांच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी । उनकी वर्तमान आयु क्या है ?
हल :- माना जैकब की वर्तमान आयु x वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु y वर्ष है ।
पांच वर्ष बाद जैकब की आयु = x+5
पांच वर्ष बाद उसके पुत्र की आयु = y+5
तो प्रश्नानुसार x+5 = 3(y+5)
x+5 = 3y + 15
x – 3y = 10 ………………….. (i)
पांच वर्ष पूर्व जैकब की आयु = x-5
पांच वर्ष पुर्व उसके पुत्र की आयु = y-5
तो x-5 = 7(y-5)
x – 5 = 7y – 35
x – 7y = -30 ………………………. (ii)
समीकरण (ii) से
x = 7y – 30 ……………………….. (iii)
x का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
(7y-30) – 3y = 10
4y – 30 = 10
4y = 40
y = 10
y का यह मान समीकरण (iii) में रखने पर
x = 7(10) – 30
x = 70 – 30
x = 40
अत: जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष तथा उसके पुत्र की वर्तमान आयु 10 वर्ष है ।
प्रश्नावली 3.3 कक्षा 10 गणित में कौनसी बीजगणितीय विधि का उपयोग होता है?
प्रश्नावली 3.3 में रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल किया गया है |
अध्याय 3 कक्षा 10 गणित में कौनसी प्रशनावली महत्वपूर्ण है?
कक्षा 10 गणित अध्याय 3 में प्रशनावली 3.2, 3.3 व 3.4 महत्वपूर्ण हैं |
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