इस पेज पर NCERT Class 10 Math Exercise 1.2 का हल उपलब्ध है । हम जानते हैं कि परिमेय संख्याऐं तथा अपरिमेय संख्याऐं मिलकर वास्तविक संख्याऐं बनाती हैं ।
परिमेय तथा अपरिमेय संख्याऐं – वे संख्याऐं जिन्हें p/q (q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां p तथा q पूर्णांक हैं, परिमेय संख्याऐं कहलाती हैं । जिन्हें p/q (q ≠ 0) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहां p तथा q पूर्णांक हैं, अपरिमेय संख्याऐं कहलाती हैं ।
प्रमेय– मान लीजिए कि p एक अभाज्य संख्या है । यदि p, a2 को विभाजित करती है तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहां a धनात्मक पूर्णांक है ।
इस प्रश्नवाली में हम सिध्द करेंगे जहां p एक अभाज्य संख्या है, अपरिमेय संख्याऐं हैं । इसके लिए हम निम्न प्रमेय का उपयोग करेंगे ।
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.2 समाधान
प्रश्न 1. सिध्द कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है ।
हल :- माना √5 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम दो पूर्णांक a और b के लिए √5 = a/b ;(b ≠ 0) ……..(i) लिख सकते हैं ।
जहां a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुण्नखण्ड नहीं है अर्थात a और b सहअभाज्य हैं ।
समीकरण (i) से √5b = a
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 5b2 = a2 ……………………… (ii)
अत: a2, 5 से विभाजित है इसलिए 5, a को भी विभाजित करेगा ।
अत: a = 5c, जहां c कोई पूर्णांक है ।
समीकरण (ii) में a = 5c रखने पर
5b2 = 25c2
b2 = 5c2
अर्थात b2, 5 से विभाजित है तो 5, b को भी विभाजित करेगा ।
अत: a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है । परन्तु इससे तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a और b सहअभाज्य हैं ।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटीपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि √5 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है ।
प्रश्न 2. सिध्द कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है ।
हल :- माना 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम दो पूर्णांक a और b के लिए 3 + 2√5 = a/b ;(b ≠ 0) ……………..(i) लिख सकते हैं ।
जहां a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुण्नखण्ड नहीं है अर्थात a और b सहअभाज्य हैं ।
चूंकी3 + 2√5 = a/b
2√5 = a/b – 3
√5 = 1/2 ( a/b – 3) …………………………. (ii)
1/2 (a/b – 3) एक परिमेय संख्या है तो समीकरण (ii) से √5 भी एक परिमेय संख्या होगी । जबकि हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है, जो कि विरोधाभास उत्पन्न करता है ।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटीपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है, अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 3+2√5 एक अपरिमेय संख्या है ।
प्रश्न 3. सिध्द कीजिए कि निम्न संख्याऐं अपरिमेय हैं – (i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6 +√2
हल :- (i) 1/√2
माना 1/√2 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम दो पूर्णांक a और b के लिए 1/√2 = a/b ;(b ≠ 0) ……………..(i) लिख सकते हैं ।
जहां a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुण्नखण्ड नहीं है अर्थात a और b सहअभाज्य हैं ।
समीकरण (i) से 1/ √2 =a/b
√2a = b
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2a2 = b2 ……………………… (ii)
अत: b2, 2 से विभाजित है इसलिए 2, b को भी विभाजित करेगा ।
अत: b = 2c, जहां c कोई पूर्णांक है ।
समीकरण (ii) में b = 2c रखने पर
2a2 = (2c)2
2a2 = 4c2
a2 = 2c2
अर्थात a2, 2 से विभाजित है तो 2, a को भी विभाजित करेगा ।
जिससे यह स्पष्ट होता है कि a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 2 है । परन्तु इससे तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि a और b सहअभाज्य हैं ।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटीपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि 1/√2 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है
(ii) 7√5
माना 7√5 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम दो पूर्णांक a और b के लिए 7√5 = a/b ;(b ≠ 0) ……………..(i) लिख सकते हैं ।
जहां a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुण्नखण्ड नहीं है अर्थात a और b सहअभाज्य हैं ।
चूंकी 7√5=a/b
√5 = a/7b …………………………. (ii)
a/7b एक परिमेय संख्या है तो समीकरण (ii) से √5 भी एक परिमेय संख्या होगी । जबकि हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है, जो कि विरोधाभास उत्पन्न करता है ।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटीपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है, अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 7√5 एक अपरिमेय संख्या है
(iii) 6+ √2
माना 6 + √2 एक परिमेय संख्या है ।
अत: हम दो पूर्णांक a और b के लिए 6 + √2 = a/b ;(b ≠ 0) ……………..(i) लिख सकते हैं ।
जहां a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुण्नखण्ड नहीं है अर्थात a और b सहअभाज्य हैं ।
चूंकी6 +√2 = a/b
√2 =a/b – 6
√2 = ( a/b – 6) …………………………. (ii)
( a/b – 6) एक परिमेय संख्या है तो समीकरण (ii) से √2 भी एक परिमेय संख्या होगी । जबकि हम जानते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है, जो कि विरोधाभास उत्पन्न करता है ।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटीपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है, अत: हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 +√2 एक अपरिमेय संख्या है ।
कक्षा 10 गणित समाधान
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class-10-maths-exercise-1.3-solutionsQ.1 परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ किसे कहते हैं?
Ans – वे संख्याऐं जिन्हें p/q (q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां p तथा q पूर्णांक हैं, परिमेय संख्याऐं कहलाती हैं । जिन्हें p/q (q ≠ 0) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जहां p तथा q पूर्णांक हैं, अपरिमेय संख्याऐं कहलाती हैं ।
Q.2 प्रश्नावली 1.2 में किस प्रमेय का प्रयोग होगा?
Ans – प्रमेय– मान लीजिए कि p एक अभाज्य संख्या है । यदि p, a2 को विभाजित करती है तो p, a को भी विभाजित करेगी, जहां a धनात्मक पूर्णांक है ।
Q.3 प्रश्नावली 1.2 में कुल कितने प्रश्न हैं?
Ans – प्रश्नावली 1.2 में कुल 3 प्रश्न हैं |
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