इस प्रश्‍नावली में हम विभाजन एल्‍गोरिथ्‍म की सहायता से एक बहुपद में दूसरे बहुपद का भाग देकर भागफल व शेषफल ज्ञात करेंगे । हम जानते हैं कि भाज्‍य = भाजक x भागफल + शेषफल

विभाजन एल्‍गोरिथ्‍म के अनुसार यदि p(x) और q(x) कोई दो बहुपद हैं जहां g(x) ≠ 0 हो तो हम बहुपद q(x) और r(x)  ऐसे प्राप्‍त कर सकते हैं कि p(x) = g(x) x q(x) + r(x)  जहां p(x) = भाज्‍य, g(x) = भाजक, q(x) = भागफल, तथा r(x) = शेषफल होगा ।

कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 2.3 समाधान

प्रश्‍न 1. विभाजन एल्‍गोरिथ्‍म का प्रयोग करके, निम्‍न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए ।

(i) p(x) = x³-3x²+5x-3,  g(x) = x² – 2

(ii) p(x) = x⁴-3x²+4x+5,  g(x) = x²+1-x

(iii) p(x) = x⁴-5x+6,  g(x) = 2 – x²

प्रश्‍न 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जांच कीजिए कि क्‍या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्‍ड है ।

(i) t²-3 ,  2t⁴+3t³-2t²-9t-12

(ii) x²+3x+1, 3x⁴+5x³-7x²+2x+2

(iii) x²-3x+1,  x⁵-4x³+x²+3x+1

प्रश्‍न 4. यदि x³-3x²+x+2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर भागफल एवं शेषफल क्रमश: x-2 और -2x+4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए ।

हल :- हम जानते हैं कि भाज्‍य = भाजक x भागफल + शेषफल

प्रश्‍न 5. बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्‍गोरिथ्‍म को संतुष्‍ट करते हों तथा

 (i) घात p(x) = q(x)  (ii) घात q(x) = r(x)  (iii) घात r(x) = 0

हल :- विभाजन एल्‍गोरिथ्‍म से p(x) = g(x) x q(x) + r(x)

(i) घात p(x) = q(x) 

यह तभी संभव है जब भाजक की घात 0 हो अर्थात भाजक अचर हो ।

माना p(x) = 2x³-4x²+15x+15

   g(x) = 2

तो q(x) = x³-2x²+7x+2 तथा r(x) = x+1

(ii) घात q(x) = r(x) 

   माना p(x) = 4x²-8x+7

              g(x) = x²-2x+1

    तो q(x) = 4 तथा r(x) = 3

(iii) घात r(x) = 0

 माना p(x) = 4x²-8x+7

    g(x) = x²-2x+1

  तो q(x) = 4 तथा r(x) = 3

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कक्षा 10 गणित समाधान

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