इसमें विद्यार्थीयों के लिए NCERT Class 10 Maths Exercise 3.2 का हल उपलब्ध है | इस प्रश्नावली में हम रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल ज्ञात करेंगे । यदि रैखिक समीकरण युग्म a1x+b1y+c1=0 तथा a2x+b2y+c2=0 है तो रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं द्वारा निम्न तीन संभवनाएं हो सकती है ।
- (i) रेखाएं एक बिन्दू पर प्रतिच्छेद करती हैं, यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} } ( अद्वितीय हल प्राप्त तथा निकाय संगत )
- (ii) रेखाएं समान्तर होंगी यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} } ( कोई हल नहीं तथा निकाय असंगत )
- (iii) रेखाएं संपाती होंगी यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} } ( अनेक हल प्राप्त तथा निकाय संगत )
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 3.2 समाधान
प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थीयों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया । यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य रू 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य रू 46 है तो एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल :- (i) माना कक्षा X में लड़कों की संख्या x तथा लड़कियों की संख्या y है तो
प्रश्नानुसार कक्षा X में कुल विद्यार्थीयों की संख्या = 10
x+y = 10 ………………………………… (i)
तथा लड़कियों की संख्या = लड़कों की संख्या + 4
y = x+4
x-y+4 = 0 ………………………………………. (ii)
समीकरण (i) से
x+y = 10
y = 10 – x
| x | 0 | 5 | 10 |
| y = 10 – x | 10 | 5 | 0 |
समीकरण (ii) से x-y+4 = 0
y = x+4
| x | 0 | 1 | 2 |
| y = x+4 | 4 | 5 | 6 |
दोनों रेखाएं बिंदू (3,7) पर प्रतिच्छेद करती हैं अत: अत: लड़कों की संख्या 3 तथा लड़कीयों की संख्या 7 है ।
(ii) माना एक पेंसिल का मूल्य x रू तथा एक कलम का मूल्य y रू है तो
प्रश्नानुसार 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य = 50 रू
5x+7y = 50 …………………….. (i)
तथा 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य = 46 रू
7x+5y = 46 …………………………….. (ii)
समीकरण (i) से
5x+7y = 50
7y = 50 – 5x
y = \frac{50-5x}{7}
| x | -4 | 3 | 10 |
| y = \frac{50-5x}{7} | 10 | 5 | 0 |
समीकरण (ii) से
7x+5y = 46
5y = 46 – 7x
y = \frac{46-7x}{5}
| x | 3 | 8 | -2 |
| y =\frac{46-7x}{5} | 5 | -2 | 12 |
दोनों रेखाएं बिंदू (3,5) पर प्रतिच्छेद करती हैं अत: एक पेंसिल का मूल्य 3 रू तथा एक कलम का मूल्य 5 रू है ।
प्रश्न 2. अनुपातों \frac{ a_{1} }{ a_{2} }, \frac{ b_{1} }{ b_{2} } और \frac{ c_{1} }{ c_{2} } की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्दू पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती है ।
(i) 5x-4y+8 = 0 (ii) 9x+3y+12 = 0 (iii) 6x-3y+10 = 0
7x+6y-9 = 0 18x+6y+24 = 0 2x-y+9 = 0
हल :- (i)5x-4y+8 = 0
7x+6y-9 = 0
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{5}{7}, \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-4}{6}= \frac{-2}{3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{9}
चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }
अत: रेखाएं एक बिन्दू पर प्रतिच्छेद करती हैं ।
(ii) 9x+3y+12 = 0
18x+6y+24 = 0
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{9}{18} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अत: रेखाएं संपाती हैं ।
(iii) 6x-3y+10 = 0
2x-y+9 = 0
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{6}{2} = 3 , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{-1}= 3, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{10}{9}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अत: रेखाएं समान्तर हैं ।
प्रश्न 3. अनुपातों \frac{ a_{1} }{ a_{2} }, \frac{ b_{1} }{ b_{2} } और \frac{ c_{1} }{ c_{2} } की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत है या असंगत ।
(i) 3x+2y = 5; 2x-3y = 7 (ii) 2x-3y = 8; 4x-6y = 9 (iii) 3/2 x+5/3 y = 7; 9x-10y = 14
(iv) 5x-3y = 11; -10x+6y = -22 (v) 4/3 x+2y = 8; 2x+3y = 12
हल :- (i)3x+2y = 5
2x-3y = 7
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{3}{2}, \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{2}{-3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{5}{7}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }
अद्वितीय हल प्राप्त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
(ii) 2x-3y = 8
4x-6y = 9
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{-6}= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{9}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
कोई हल प्राप्त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म असंगत है ।
(iii) 3/2 x+5/3 y = 7
9x-10y = 14
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{3}{2 \times 9} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{5}{3 \times -10}= \frac{1}{-6}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{7}{14} = \frac{1}{2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }
अद्वितीय हल प्राप्त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
(iv) 5x-3y = 11
-10x+6y = -22
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{5}{-10} =\frac{-1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{6}= \frac{-1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{11}{-22} =\frac{-1}{2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अनेक हल प्राप्त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
(v) 4/3 x+2y = 8
2x+3y = 12
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{4}{3 \times 2} =\frac{2}{3} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{2}{3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{12} = \frac{2}{3}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अनेक हल प्राप्त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत / असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।
(i) x+y = 5 2x+2y = 10
(ii) x-y = 8 3x-3y = 16
(iii) 2x+y-6 = 0 4x-2y-4 = 0
(iv) 2x-2y-2 = 0 4x-4y-5 = 0
हल :- (i) x+y = 5 ……………………… (i)
2x+2y = 10 ………………….. (ii)
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
रेखाएं संपाती हैं तथा अनेक हल प्राप्त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
समीकरण (i) से
x+y = 5
y = 5 – x
| x | 0 | 5 | 10 |
| y = 5-x | 5 | 0 | -5 |
समीकरण (ii) से 2x+2y = 10
2y = 10-2x
y = \frac{10-2x}{2}
| x | 0 | 5 | 10 |
| y = \frac{10-2x}{2} | 5 | 0 | -5 |
रेखाएं संपाती हैं अत: अनेक हल प्राप्त होंगे |
(ii) x-y = 8
3x-3y = 16
\frac{ a_{1} }{ a_{2} } =\frac{1}{3} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-1}{-3}= \frac{1}{3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{16} =\frac{1}{2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
रेखाएं समान्तर हैं तथा कोई हल प्राप्त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म असंगत है ।
(iii) 2x+y-6 = 0 ………………… (i)
4x-2y-4 = 0 ……………………… (ii)
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{1}{-2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{6}{-4} =\frac{3}{-2}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }
अद्वितीय हल प्राप्त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।
समीकरण (i) से 2x+y-6 = 0
y = 6-2x
| x | 0 | 2 | 4 |
| y = 6-2x | 6 | 2 | -2 |
समीकरण (ii) से 4x-2y-4 = 0
4x-4 = 2y
y = \frac{4x-4}{2}
| x | 0 | 2 | 4 |
| y = \frac{4x-4}{2} | -2 | 2 | 6 |
रेखाएं बिन्दू (2,2) पर प्रतिच्छेद करती हैं अत: इसका हल x=2 तथा y=2 है ।
(iv) 2x-2y-2 = 0
4x-4y-5 = 0
\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-2}{-4} =\frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{-2}{-5}चूंकी \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
रेखाएं समान्तर हैं तथा कोई हल प्राप्त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्म असंगत है ।
प्रश्न 5. एक आयताकार बाग जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4m अधिक है का अर्धपरिमाप 36m है । बाग की विमाएं ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना आयताकार बाग की लंबाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है तो
प्रश्नानुसार लंबाई = चौड़ाई + 4
x = y+4 ………………… (i)
आयताकार बाग का अर्धपरिमाप = 36 m
(लंबाई + चौड़ाई) = 36
x+y = 36
समीकरण (i) से x=y+4 रखने पर
(y+4)+y = 36
2y+4 = 36
2y = 36 – 4
2y = 32
y = 16
चूंकी x = y+4 = 16 +4 = 20
x= 20
अत: आयताकार बाग की लंबाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है ।
प्रश्न 6. एक रैखिक समीकरण 2x+3y-8 = 0 दी गई है । दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितिय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएं हों । (ii) समान्तर रेखाऐं हों । (iii) संपाती रेखाएं हों ।
हल :- (i) 2x+3y-8 = 0
रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }
अत: रैखिक समीकरण होगी 3x+2y-7 = 0
(ii) 2x+3y-8 = 0
रेखाएं समांतर होंगी यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अत: रैखिक समीकरण होगी 2x+3y-12 = 0
(iii) 2x+3y-8 = 0
रेखाएं संपाती होंगी यदि \frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }
अत: रैखिक समीकरण होगी 4x+6y-16 = 0
प्रश्न 7. समीकरणों x-y+1=0 और 3x+2y-12= 0 का ग्राफ खींचिए । x अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए ।
हल :- x-y+1 = 0
x+1 = y
y = x+1
| x | -1 | 2 | 4 |
| y = x+1 | 0 | 3 | 5 |
3x+2y-12 = 0
2y = 12-3x
y = \frac{12-3x}{2}
| x | 0 | 2 | 4 |
| y = \frac{12-3x}{2} | 6 | 3 | 0 |
अत: त्रिभुज के शीर्ष (-1,0) , (4,0) तथा (2,3) हैं ।
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