प्रश्‍नावली 3.2 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | NCERT Class 10 Maths Exercise 3.2 solutions in hindi

इसमें विद्यार्थीयों के लिए NCERT Class 10 Maths Exercise  3.2 का हल उपलब्‍ध है | इस प्रश्‍नावली में हम रैखिक समीकरण युग्‍म का ग्राफीय विधि से हल ज्ञात करेंगे । यदि रैखिक समीकरण युग्‍म a₁x+b₁y+c₁=0 तथा a₂x+b₂y+c₂=0 है तो रैखिक समीकरण युग्‍म द्वारा निरूपित रेखाओं द्वारा निम्‍न तीन संभवनाएं हो सकती है ।

• (i) रेखाएं एक बिन्‍दू पर प्रतिच्‍छेद करती हैं, यदि  $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$  ( अद्वितीय हल प्राप्‍त तथा निकाय संगत )
• (ii) रेखाएं समान्‍तर होंगी यदि $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$  ( कोई हल नहीं तथा निकाय असंगत )
• (iii) रेखाएं संपाती होंगी यदि  $\frac{ a_{1} }{ a_{2} }$ = $\frac{ b_{1} }{ b_{2} }$ = $\frac{ c_{1} }{ c_{2} }$ ( अनेक हल प्राप्‍त तथा निकाय संगत )

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 3.2 समाधान

प्रश्‍न 1. निम्‍न समस्‍याओं में रैखिक समीकरणों के युग्‍म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थीयों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया । यदि लड़कियों की संख्‍या लड़कों की संख्‍या से 4 अधिक है तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्‍या ज्ञात कीजिए।

(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्‍य रू 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्‍य रू 46 है तो एक पेंसिल तथा एक कलम का मूल्‍य ज्ञात कीजिए ।

हल :- (i) माना कक्षा X में लड़कों की संख्‍या x तथा लड़कियों की संख्‍या y है तो

प्रश्‍नानुसार     कक्षा X में कुल विद्यार्थीयों की संख्‍या = 10

    x+y = 10 ………………………………… (i)

तथा लड़कियों की संख्‍या = लड़कों की संख्‍या + 4

   y = x+4

   x-y+4 = 0 ………………………………………. (ii)

    समीकरण (i) से

    x+y = 10

    y = 10 – x

x	0	5	10
y = 10 – x	10	5	0

समीकरण (ii) से   x-y+4 = 0

      y = x+4

x	0	1	2
y = x+4	4	5	6

दोनों रेखाएं बिंदू (3,7) पर प्रतिच्‍छेद करती हैं अत: अत: लड़कों की संख्‍या 3 तथा लड़कीयों की संख्‍या 7 है ।

(ii) माना एक पेंसिल का मूल्‍य x रू तथा एक कलम का मूल्‍य y रू है तो

प्रश्‍नानुसार   5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्‍य = 50 रू

             5x+7y = 50 …………………….. (i)

तथा 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्‍य = 46 रू

            7x+5y = 46 …………………………….. (ii)

समीकरण (i) से

5x+7y = 50

7y = 50 – 5x

y =  $\frac{50-5x}{7}$

x	-4	3	10
y =  $\frac{50-5x}{7}$	10	5	0

समीकरण (ii) से   

7x+5y = 46

5y = 46 – 7x

y = $\frac{46-7x}{5}$

x	3	8	-2
y =$\frac{46-7x}{5}$	5	-2	12

दोनों रेखाएं बिंदू (3,5) पर प्रतिच्‍छेद करती हैं अत: एक पेंसिल का मूल्‍य 3 रू तथा एक कलम का मूल्‍य 5 रू है ।

प्रश्‍न 2. अनुपातों $\frac{ a_{1} }{ a_{2} }$, $\frac{ b_{1} }{ b_{2} }$ और $\frac{ c_{1} }{ c_{2} }$   की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्‍न समीकरण युग्‍म द्वारा निरूपित रेखाएं एक बिन्‍दू पर प्रतिच्‍छेद करती हैं, समान्‍तर हैं अथवा संपाती है ।

(i) 5x-4y+8 = 0               (ii) 9x+3y+12 = 0            (iii) 6x-3y+10 = 0

   7x+6y-9 = 0                  18x+6y+24 = 0                2x-y+9 = 0

हल :- (i)5x-4y+8 = 0

         7x+6y-9 = 0

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{5}{7}$, $\frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-4}{6}= \frac{-2}{3}$, $\frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{9}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$

अत: रेखाएं एक बिन्‍दू पर प्रतिच्‍छेद करती हैं ।

(ii) 9x+3y+12 = 0

   18x+6y+24 = 0

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{9}{18} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अत: रेखाएं संपाती हैं ।

(iii) 6x-3y+10 = 0

    2x-y+9 = 0

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{6}{2} = 3 , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{-1}= 3, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{10}{9}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अत: रेखाएं समान्‍तर हैं ।

प्रश्‍न 3. अनुपातों  $\frac{ a_{1} }{ a_{2} }$, $\frac{ b_{1} }{ b_{2} }$ और $\frac{ c_{1} }{ c_{2} }$  की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्‍न रैखिक समीकरणों के युग्‍म संगत है या असंगत ।

(i) 3x+2y = 5; 2x-3y = 7     (ii) 2x-3y = 8; 4x-6y = 9     (iii) 3/2 x+5/3 y = 7; 9x-10y = 14

(iv) 5x-3y = 11; -10x+6y = -22  (v) 4/3 x+2y = 8; 2x+3y = 12

हल :- (i)3x+2y = 5

        2x-3y = 7

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{3}{2}, \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{2}{-3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{5}{7}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$

अद्वितीय हल प्राप्‍त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

(ii) 2x-3y = 8

   4x-6y = 9

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{-6}= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{9}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

कोई हल प्राप्‍त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म असंगत है ।

(iii) 3/2 x+5/3 y = 7

    9x-10y = 14

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{3}{2 \times 9} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{5}{3 \times -10}= \frac{1}{-6}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$

अद्वितीय हल प्राप्‍त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

(iv) 5x-3y = 11

  -10x+6y = -22

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{5}{-10} =\frac{-1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-3}{6}= \frac{-1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{11}{-22} =\frac{-1}{2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अनेक हल प्राप्‍त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

(v) 4/3 x+2y = 8

  2x+3y = 12

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{4}{3 \times 2} =\frac{2}{3} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{2}{3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अनेक हल प्राप्‍त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

प्रश्‍न 4. निम्‍न रैखिक समीकरणों के युग्‍मों में से कौनसे युग्‍म संगत / असंगत है, यदि संगत है तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए ।

 (i) x+y = 5         2x+2y = 10

(ii) x-y = 8         3x-3y = 16

(iii) 2x+y-6 = 0     4x-2y-4 = 0

(iv) 2x-2y-2 = 0    4x-4y-5 = 0

हल :- (i) x+y = 5 ……………………… (i)

       2x+2y = 10 ………………….. (ii)

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

रेखाएं संपाती हैं तथा अनेक हल प्राप्‍त होंगे अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

समीकरण (i) से

x+y = 5

y = 5 – x

x	0	5	10
y = 5-x	5	0	-5

समीकरण (ii) से 2x+2y = 10

               2y = 10-2x

              y =   $\frac{10-2x}{2}$

x	0	5	10
y = $\frac{10-2x}{2}$	5	0	-5

रेखाएं संपाती हैं अत: अनेक हल प्राप्‍त होंगे |

(ii) x-y = 8

 3x-3y = 16

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} } =\frac{1}{3} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-1}{-3}= \frac{1}{3}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{8}{16} =\frac{1}{2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

 रेखाएं समान्‍तर हैं तथा कोई हल प्राप्‍त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म असंगत है ।

(iii) 2x+y-6 = 0 ………………… (i)

 4x-2y-4 = 0  ……………………… (ii)

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{1}{-2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{6}{-4} =\frac{3}{-2}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$

अद्वितीय हल प्राप्‍त होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म संगत है ।

समीकरण (i) से 2x+y-6 = 0

            y = 6-2x

x	0	2	4
y = 6-2x	6	2	-2

समीकरण (ii) से 4x-2y-4 = 0 

           4x-4 = 2y

           y =  $\frac{4x-4}{2}$

x	0	2	4
y =  $\frac{4x-4}{2}$	-2	2	6

रेखाएं बिन्‍दू (2,2) पर प्रतिच्‍छेद करती हैं अत: इसका हल x=2 तथा y=2 है ।

(iv) 2x-2y-2 = 0

   4x-4y-5 = 0

$\frac{ a_{1} }{ a_{2} }= \frac{2}{4} =\frac{1}{2} , \frac{ b_{1} }{ b_{2} }= \frac{-2}{-4} =\frac{1}{2}, \frac{ c_{1} }{ c_{2} }= \frac{-2}{-5}$

चूंकी $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

 रेखाएं समान्‍तर हैं तथा कोई हल प्राप्‍त नहीं होगा अत: रैखिक समीकरण युग्‍म असंगत है ।

प्रश्‍न 5. एक आयताकार बाग जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4m अधिक है का अर्धपरिमाप 36m है । बाग की विमाएं ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना आयताकार बाग की लंबाई x मीटर तथा चौड़ाई y मीटर है तो

प्रश्‍नानुसार  लंबाई = चौड़ाई + 4

x = y+4 ………………… (i)

आयताकार बाग का अर्धपरिमाप = 36 m

(लंबाई + चौड़ाई) = 36

x+y = 36

समीकरण (i) से x=y+4 रखने पर

(y+4)+y = 36

2y+4 = 36

2y = 36 – 4

2y = 32

y = 16

चूंकी x = y+4 = 16 +4 = 20

x= 20

अत: आयताकार बाग की लंबाई 20 मीटर तथा चौड़ाई 16 मीटर है ।

प्रश्‍न 6. एक रैखिक समीकरण 2x+3y-8 = 0 दी गई है । दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्‍त युग्‍म का ज्‍यामितिय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्‍छेद करती रेखाएं हों ।  (ii) समान्‍तर रेखाऐं हों ।   (iii) संपाती रेखाएं हों ।

हल :- (i) 2x+3y-8 = 0

रेखाएं प्रतिच्‍छेद करती हैं यदि  $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } \neq \frac{ b_{1} }{ b_{2} }$

अत: रैखिक समीकरण होगी 3x+2y-7 = 0

(ii) 2x+3y-8 = 0

रेखाएं समांतर होंगी यदि $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } \neq \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अत: रैखिक समीकरण होगी 2x+3y-12 = 0

(iii) 2x+3y-8 = 0

रेखाएं संपाती होंगी यदि $\frac{ a_{1} }{ a_{2} } = \frac{ b_{1} }{ b_{2} } = \frac{ c_{1} }{ c_{2} }$

अत: रैखिक समीकरण होगी 4x+6y-16 = 0

प्रश्‍न 7. समीकरणों x-y+1=0 और 3x+2y-12= 0 का ग्राफ खींचिए । x अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए ।

हल :- x-y+1 = 0

    x+1 = y

y = x+1

x	-1	2	4
y = x+1	0	3	5

3x+2y-12 = 0

2y = 12-3x

y =  $\frac{12-3x}{2}$

x	0	2	4
y =  $\frac{12-3x}{2}$	6	3	0

अत: त्रिभुज के शीर्ष (-1,0) , (4,0) तथा (2,3) हैं ।

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