प्रश्‍नावली 3.6 कक्षा 10 गणित समाधान 2023-24 | class 10 maths exercise 3.6 solutions in hindi

NCERT Exercise 3.6 class 10 maths | प्रश्‍नावली 3.6 कक्षा 10 गणित |class 10 math solutions में हम ऐसे समीकरणों के युग्‍मों के बारे में चर्चा करेंगे जो रैखिक नहीं हैं । इन्‍हे प्रतिस्‍थापन द्वारा हम रैखिक समीकरण युग्‍म में बदलकर हल ज्ञात करेंगे । इसे हम निम्‍न उदाहरण से समझते हैं –

\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13 …………….. (1)

\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2 ………………..(2)

यह समीकरण ax+by+c = 0 (रैखिक) रूप में नहीं है । हम समीकरण (1) व (2) में  \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित कर रैखिक बनाते हैं ।

2p+3q = 13 ……………… (3)

5p – 4q = -2 ……………. (4)

समीकरण (3) व (4) को किसी भी बीजगणितीय विधि से हल करने पर p = 2 तथा q = 3 प्राप्‍त करते हैं ।

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

तो \frac{1}{x} = 2 तथा \frac{1}{y} = 3

x = \frac{1}{2} , y = \frac{1}{3}

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कक्षा 10 गणित प्रश्‍नावली 3.6 समाधान

प्रश्‍न 1. निम्‍न समीकरणों के युग्‍मों को रैखिक समीकरणों के युग्‍म में बदल करके हल कीजिए ।

(i)  

\frac{1}{2x} + \frac{1}{3} = 2 …………….. (1)

\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6} ………………..(2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

\frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 ……………… (3)

\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} ………………..(4)

विलोपन विधि – p के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 2 से गुणा तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर

p + \frac{2q}{3} = 4 ………………. (5)

p + \frac{3q}{2} = \frac{13}{2} ………………..(6)

समीकरण (5) में से समी. (6) घटाने पर

(p + \frac{2q}{3}) – (p + \frac{3q}{2}) = 4 – \frac{13}{2} ‘

\frac{2q}{3} - \frac{3q}{2} = \frac{8-13}{2}‘

\frac{4q-9q}{6} = \frac{-5}{2}‘

\frac{-5q}{6} = \frac{-5}{2}

q = \frac{6}{2}

q = 3

q का यह मान समी. (5) में रखने पर

p + \frac{2(3)}{3} = 4

p + 2 = 4

p = 2

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

तो \frac{1}{x} = 2 तथा \frac{1}{y} = 3

x = \frac{1}{2} , y = \frac{1}{3}

अत: हल x = \frac{1}{2} , y = \frac{1}{3}

(ii) \frac{2}{ \sqrt{x} } + \frac{3}{ \sqrt{y} } = 2 ……………….. (1)

\frac{4}{ \sqrt{x} } - \frac{9}{ \sqrt{y} } = -1 …………………… (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए  \frac{1}{ \sqrt{x} } = p तथा \frac{1}{ \sqrt{y} } = q प्रतिस्‍थापित करने पर

2p + 3q = 2 ……………. (3)

4p – 9q = -1 ……………. (4)

विलोपन विधि – q के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 3 से गुणा करने पर

6p + 9q = 6 …………… (5)

q का विलो‍पन करने के लिए समीकरण (4) व समीकरण (5) जोड़ने पर

(4p-9q) + (6p+9q) = -1 + 6

10p = 5

p = \frac{5}{10}

p = \frac{1}{2}

p का यह मान समीकरण (1) में रखने पर

2(\frac{1}{2}) + 3q = 2

1 + 3q = 2

3q = 1

q = \frac{1}{3}

क्‍योंकि \frac{1}{ \sqrt{x} } = p तथा \frac{1}{ \sqrt{y} } = q

तो \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{1}{2} तथा \frac{1}{ \sqrt{y} } = \frac{1}{3}‘

\sqrt{x} = 2 तथा \sqrt{y} = 3

x = 4 तथा y = 9

अत: हल x = 4,  y = 9

(iii)  \frac{4}{x} + 3y = 14 ……………. (1)

\frac{3}{x} – 4y = 23 ………………….. (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए  \frac{1}{x} = p प्रतिस्‍थापित करने पर

4p + 3y = 14 ……………… (3)

3p – 4y = 23 ……………… (4)

विलोपन विधि –  y के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 4 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर

16p + 12y = 56 ……………. (5)

9p – 12y = 69 ……………….. (6)

y को विलोपित करने के लिए समीकरण (5) व (6) जोड़ने पर

(16p + 12y ) + ( 9p – 12y ) = 56 + 69

25p = 125

p = \frac{125}{25}

p = 5

समीकरण (3) में p = 5 रखने पर

4(5) + 3y = 14

20 + 3y = 14

3y = -6

y = \frac{-6}{3}

y = -2

क्‍योंकि  \frac{1}{x} = p

अत: \frac{1}{x} = 5

x =  \frac{1}{5}

अत: हल x = \frac{1}{5}  , y = -2

(iv) \frac{5}{x-1} + \frac{1}{y-2} = 2 ……….. (1)

\frac{6}{x-1} - \frac{3}{y-2} = 1 ……………… (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए \frac{1}{x-1}  = p तथा \frac{1}{y-2} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

5p + q = 2 ……………. (3)

6p – 3q = 1 …………….. (4)

विलोपन विधि –  q के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 3 से गुणा करने पर

15p + 3q = 6 …………… (5)

q को विलोपित करने के लिए समीकरण (4) व (5) जोड़ने पर

(6p-3q) + (15p+3q) = 1+6

21p = 7

p = \frac{7}{21}

p = \frac{1}{3}

समीकरण (3) में p = \frac{1}{3}  रखने पर

5(\frac{1}{3}) + q = 2

q = 2 – \frac{1}{3}

q =  \frac{6-5}{3}

q =  \frac{1}{3}

क्‍योंकि  \frac{1}{x-1}  = p तथा \frac{1}{y-2} = q

 \frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} तथा \frac{1}{y-2} = \frac{1}{3}

x – 1 = 3 तथा y – 2 = 3

x = 4 तथा y = 5

अत: हल x = 4, y = 5

(v) \frac{7x-2y}{xy} =5 \Rightarrow \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5 …………. (1)

\frac{8x+7y}{xy} = 15 \Rightarrow \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15 …………. (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

7q – 2p = 5 …………….. (3)

8q + 7p = 15 ……………… (4)

विलोपन विधि –  p के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 7 से तथा समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर

49q – 14p = 35 ………….. (5)

16q + 14p = 30 ……………. (6)

q को विलोपित करने के लिए समीकरण (5) व (6) जोड़ने पर

(49q – 14p) + (16q + 14p) = 35 + 30

65q = 65

q = \frac{65}{65}

q = 1

समीकरण (3) में q = 1 रखने पर

7(1) – 2p = 5

2p = 7 – 5

2p = 2

p = \frac{2}{2}

p =1

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

\frac{1}{x} = 1 तथा \frac{1}{y} = 1

 x = 1 , y = 1

अत: हल x = 1 , y = 1

(vi) 6x+3y = 6xy \Rightarrow\frac{6x+3y}{xy} = 6 \Rightarrow\frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6 …………. (1)

2x+4y = 5xy \Rightarrow\frac{2x+4y}{xy} = 5 \Rightarrow\frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5 …………. (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

6q + 3p = 6 ……………….. (3)

2q + 4p = 5 ………………… (4)

विलोपन विधि –  q के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर

6q + 12p = 15 …………………. (5)

q को विलोपित करने के लिए समीकरण (5) में से समीकरण (3) घटाने पर

(6q+12p) – (6q+3p) = 15 – 6

9p = 9

p = \frac{9}{9}

p = 1

समीकरण (3) में p = 1 रखने पर

6q + 3(1) = 6

6q = 3

q = \frac{3}{6}

q = \frac{1}{2}

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

\frac{1}{x} = 1 तथा \frac{1}{y} = \frac{1}{2}

 x = 1 , y = 2

अत: हल x = 1 , y = 2

(vii) \frac{10}{x+y} + \frac{2}{x-y} = 4 …………… (1)

\frac{15}{x+y} - \frac{5}{x-y} = -2 …………… (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x+y} = p तथा \frac{1}{x-y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

10p + 2q = 4 ……………. (3)

15p – 5q = -2 …………. (4)

विलोपन विधि –  q के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (3) को 5 से तथा समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर

50p + 10q = 20 ………. (5)

30p – 10q = -4 …………… (6)

q को विलोपित करने के लिए समीकरण (5) व (6) जोड़ने पर

(50p+10q) + (30p-10q) = 20 – 4

80p = 16

p = \frac{16}{80}

p = \frac{1}{5}

समीकरण (3) में p = \frac{1}{5}  रखने पर

10(\frac{1}{5}) + 2q = 4

2 + 2q = 4

2q = 4 – 2

q =  \frac{2}{2}

q = 1

क्‍योंकि \frac{1}{x+y} = p तथा \frac{1}{x-y} = q

\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} तथा \frac{1}{x-y} = 1

x+y = 5  ……….. (7) तथा x-y = 1 ……………… (8)

समीकरण (7) व (8) जोड़ने पर

2x = 6

x = 3

समीकरण (7) में (8) घटाने पर

2y = 4

y = 2

अत: हल x = 3 , y = 2

(viii)

\frac{1}{3x+y} + \frac{1}{3x-y} = \frac{3}{4} …………… (1)

\frac{1}{2(3x+y)} - \frac{1}{2(3x-y)} = \frac{-1}{8} …………… (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{3x+y} = p तथा \frac{1}{3x-y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

 p + q = \frac{3}{4} …………….. (3)

 \frac{p}{2}  - \frac{q}{2} = \frac{-1}{8} …………… (4)

q के गुणांक समान बनाने के लिए समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर

p – q = \frac{-1}{4} ………….. (5)

समीकरण (3) व (5) जोड़ने पर

(p+q) + (p – q) = \frac{3}{4} -  \frac{1}{4}

2p = \frac{3-1}{4}

2p = \frac{2}{4}

2p = \frac{1}{2}

p = \frac{1}{4}

समीकरण (3) में p = \frac{1}{4}  रखने पर

  \frac{1}{4}  + q =   \frac{3}{4}

q =   \frac{3-1}{4}

q =   \frac{2}{4}

q = \frac{1}{2}

क्‍योंकि \frac{1}{3x+y} = p तथा \frac{1}{3x-y} = q

\frac{1}{3x+y} = \frac{1}{4} तथा \frac{1}{3x-y} = \frac{1}{2}

3x+y = 4 तथा 3x-y = 2

दोनों को जोड़ने पर

6x = 6

x = 1

तथा घटाने पर

2y = 2

y = 1

अत: हल x = 1 , y = 1

प्रश्‍न 2. निम्‍न समस्‍याओं को रैखिक समीकरण युग्‍म के रूप में व्‍यक्‍त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :

(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्‍टे में 20 किमी. तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्‍टे में 4 किमी.  तैर सकती है । उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना रितु के स्थिर जल में तैरने की चाल x km/h तथा धारा की चाल y km/h है तो

रितु की धारा के अनुकूल तैरने की चाल = (x+y) km/h

तथा धारा के प्रतिकूल तैरने की चाल = (x-y) km/h

चाल = \frac{दूरी}{समय}

रितु धारा के अनुकूल 2 घण्‍टे में 20 km तैर सकती है तो धारा के अनुकूल चाल (x+y) =   \frac{20}{2}

x + y = 10 ………… (1)

रितु धारा के प्रतिकूल 2 घण्‍टे में 4 km तैर सकती है तो धारा के प्रतिकूल चाल (x-y) =   \frac{4}{2}

x – y = 2 …………. (2)

समीकरण (1) व (2) जोड़ने पर

2x = 12

x = \frac{12}{2}

x = 6

समीकरण (1) में x = 2 रखने पर

6 + y = 10

y = 4

अत: रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल 6 km/h तथा धारा की चाल 4 km/h है ।

(ii) 2 महिलाएं एवं 5 पुरूष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएं एवं 6 पुरूष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं । ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी । पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरूष कितना समय लेगा ।

हल:- माना एक अकेली महिला को कार्य पूरा करने में x दिन तथा अकेले पुरूष को कार्य पूरा करने में y दिन लगते हैं तो

एक महिला द्वारा एक दिन में किया गया कार्य =  \frac{1}{x}

एक पुरूष द्वारा एक दिन में किया गया कार्य =  \frac{1}{y}

यदि 2 महिलाएं एवं 5 पुरूष किसी कार्य को 4 दिन में पूरा करते हैं तो एक दिन में किया गया कार्य =  \frac{1}{4}

\frac{2}{x} +\frac{5}{y}  = \frac{1}{4}  ………………….. (1)

इसी प्रकार 3 महिलाएं एवं 6 पुरूष किसी कार्य को 3 दिन में पूरा करते हैं तो एक दिन में किया गया कार्य =  \frac{1}{3}

\frac{3}{x} +\frac{6}{y}  = \frac{1}{3}  ………………….. (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

2p + 5q = \frac{1}{4} ………………. (3)

3p + 6q = \frac{1}{3}  ……………. (4)

समीकरण (3) को 3 से तथा समीकरण (4) को 2 से गुणा करने पर

6p + 15q = \frac{3}{4}  ………… (5)

6p + 12q = \frac{2}{3} …………. (6)

समीकरण (5) में से (6) घटाने पर

(6p+15q) – (6p+12q) =  \frac{3}{4} - \frac{2}{3}

3q =  \frac{9-8}{12}

3q =  \frac{1}{12}

q =  \frac{1}{36}

समीकरण (4) में q =  \frac{1}{36} रखने पर

3p + 6( \frac{1}{36} ) =    \frac{1}{3} 

3p +  \frac{1}{6}  =    \frac{1}{3} 

3p =   \frac{1}{6} – \frac{1}{3}

3p =   \frac{2-1}{6}

3p = \frac{1}{6}  

p =   \frac{1}{18}

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

\frac{1}{x} = \frac{1}{18} तथा \frac{1}{y} = \frac{1}{36}

 x = 18 , y = 36

अत: किसी कार्य को करने में एक अकेली महिला को 18 दिन तथा एक अकेले पुरूष को 36 दिन का समय लगेगा ।

प्रश्‍न 3. रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है । यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घण्‍टे लगते हैं । यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं । रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए ।

हल :- माना रेलगाड़ी की चाल x km/h तथा बस की चाल y km/h है ।

हम जानते हैं कि चाल = \frac{दूरी}{समय}

समय = \frac{दूरी}{चाल}

पहली बार रेलगाड़ी से तय की गई दूरी = 60 km

रेलगाड़ी से यात्रा करने में लगा समय = \frac{दूरी}{चाल} = \frac{60}{x}  घण्‍टे

बस से तय की गई दूरी = 300 – 60 = 240 km

बस से यात्रा करने में लगा समय = \frac{दूरी}{चाल} = \frac{240}{y} घण्‍टे

पहली बार यात्रा में लगा कुल समय = 4 घण्‍टे

\frac{60}{x} + \frac{240}{y} = 4 ……………. (1)

दूसरी बार रेलगाड़ी से तय की गई दूरी = 100 km

रेलगाड़ी से यात्रा करने में लगा समय = \frac{दूरी}{चाल} = \frac{100}{x}  घण्‍टे

बस से तय की गई दूरी = 300 – 100 = 200 km

बस से यात्रा करने में लगा समय = \frac{दूरी}{चाल} = \frac{200}{y} घण्‍टे

दूसरी बार यात्रा में लगा कुल समय = 4 घण्‍टे 10 मिनट = 4 + \frac{10}{60} = 4 +\frac{1}{6} = \frac{24+1}{6} = \frac{25}{6}

\frac{100}{x} + \frac{200}{y} = \frac{25}{6} …………….. (2)

समीकरण (1) व (2) को रैखिक समीकरण में बदलने के लिए   \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q प्रतिस्‍थापित करने पर

60p + 240q = 4  …………….. (3)

100p + 200q = \frac{25}{6}  ………….(4)

समीकरण (3) को 5 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर

300p + 1200q = 20 ……………. (5)

300p + 600q =\frac{25}{2}  ……….. (6)

समीकरण (5) में से (6) घटाने पर

(300p+1200q) – (300p+600q) = 20 –  \frac{25}{2}

600q =  \frac{40-25}{2}

600q =  \frac{15}{2}

q = \frac{15}{1200}

q = \frac{1}{80}

समीकरण (3) में q = \frac{1}{80}  रखने पर

60p + 240(\frac{1}{80}) = 4

60p + 3 = 4

60p = 1

p =   \frac{1}{60}

क्‍योंकि \frac{1}{x} = p तथा \frac{1}{y} = q

\frac{1}{x} = \frac{1}{60} तथा \frac{1}{y} = \frac{1}{80}

x = 60 , y = 80

अत: रेलगाड़ी की चाल 60 km/h तथा बस की चाल 80 km/h है ।

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