Ncert class 10 maths exercise 4.4 | Exercise 4.4 class 10 Maths | कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.4 | प्रश्नावली 4.4 कक्षा 10 गणित | Ncert maths solutions in hindi |
उदाहरण – द्विघात समीकरण 2x2-4x+3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
हल :- 2x2-4x+3 = 0
a = 2, b = -4, c = 3
b2-4ac = (-4)2 – 4(2)(3) = 16 – 24 = -8 < 0
b2-4ac < 0 अत: उक्त समीकरण का कोई मूल वास्तविक नहीं है ।
द्विघात समीकरण के मूल x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}
प्रश्न 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए । यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हे ज्ञात कीजिए ।
(i) 2x2-3x+5 = 0
(ii) 3x2-4\sqrt{3}x+4 = 0
(iii) 2x2-6x+3 = 0
हल :- (i) 2x2-3x+5 = 0
a = 2, b = -3, c = 5
b2-4ac = (-3)2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = -31<0
b2-4ac < 0
अत: उक्त समीकरण का कोई मूल वास्तविक नहीं है ।
(ii) 3x2-4\sqrt{3}x+4 = 0
a = 3, b = -4\sqrt{3}x , c = 4
b2-4ac = (-4\sqrt{3} )2 – 4(3)(4) = 48 – 48 = 0
b2-4ac = 0 है तो मूल वास्तविक व बराबर होंगे ।
द्विघाती सूत्र से ( श्रीधराचार्य विधि से ) x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}
x = \frac{-(-4 \sqrt{3}) \pm \sqrt{0} }{2(4)}
x = \frac{4 \sqrt{3} }{8} = \frac{\sqrt{3} }{2}
अत: द्विघात समीकरण के मूल \frac{\sqrt{3} }{2}, \frac{\sqrt{3} }{2} हैं ।
(iii) 2x2-6x+3 = 0
a = 2, b = -6, c = 3
b2-4ac = (-6)2 – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12 > 0
b2-4ac > 0
अत: मूल वास्तविक व भिन्न – भिन्न होंगे । द्विघाती सूत्र से ( श्रीधराचार्य विधि से ) x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12} }{2(2)}
x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3} }{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3} }{2}
अत: द्विघात समीकरण के मूल \frac{3 + \sqrt{3} }{2} , \frac{3 - \sqrt{3} }{2} हैं ।
प्रश्न 2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों ।
(i) 2x2+kx+3 = 0 (ii) kx(x-2)+6 = 0
हल :- (i) 2x2+kx+3 = 0
a = 2, b = k, c = 3
दोनों मूल बराबर हैं तो b2-4ac = 0
b2-4ac = (k)2 – 4(2)(3) = 0
k2 – 24 = 0
k2 = 24
k = \sqrt{24}
k = ± 2\sqrt{6}
(ii) kx(x-2)+6 = 0
kx2 -2kx +6 = 0
a = k, b = -2k, c = 6
दोनों मूल बराबर हैं तो b2-4ac = 0
b2-4ac = (-2k)2 – 4(k)(6) = 0
4k2 – 24k = 0
4k2 = 24k
4k = 24
k = \frac{24}{4}
k = 6
प्रश्न 3. क्या ऐसी बगिया बनाना संभव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि हां तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना आम की बगिया की चौड़ाई x m है ।
तो उसकी लम्बाई = 2x
आम की बगिया का क्षेत्रफल = 800 m2
लम्बाई x चौड़ाई = 800
2x(x) = 800
2x2 = 800
x2 = 400
x = \sqrt{400}
x = ±20
अत: ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी चौड़ाई 20 मीटर तथा लम्बाई 40 मीटर है ।
प्रश्न 4. क्या निम्न् स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए । दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है । चार वर्ष पूर्व उनकी आयु ( वर्षों में ) का गुणनफल 48 था ।
हल :- माना प्रथम मित्र की आयु x वर्ष है ।
तो दूसरे मित्र की आयु = 20 – x
चार वर्ष पूर्व प्रथम मित्र की आयु = x-4
चार वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = (20–x) –4 = 16-x
दोनों की आयु का गुणनफल = 48
(x-4)(16-x) = 48
16x – x2 -64 + 4x = 48
0 = 48 – 16x + x2 + 64 – 4x
0 = x2 – 20x + 112
a = 1, b = -20, c = 112
b2-4ac = (20)2 – 4(1)(112) = 400 – 448 = -48 < 0
b2-4ac < 0
इसका कोई मूल वास्तविक नहीं है । अत: यह स्थिति संभव नहीं है ।
प्रश्न 5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m2 के एक पार्क को बनाना संभव है । यदि है तो उसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :- माना पार्क की लम्बाई x तथा चौडाई y है ।
पार्क का परिमाप = 80 m
2( लम्बाई + चौड़ाई ) = 80
2(x+y) = 80
x+y = 40
y = 40 – x …………(i)
पार्क का क्षेत्रफल = 400 m2
xy = 400
x(40-x) = 400
40x – x2 = 400
0 = x2 – 40x + 400
a = 1, b = -40, c = 400
b2-4ac = (-40)2 – 4(1)(400) = 1600 – 1600 = 0
b2-4ac = 0
अत: ऐसा पार्क बनाना संभव है ।
द्विघाती सूत्र से ( श्रीधराचार्य विधि से ) x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}
x = \frac{-(-40) \pm \sqrt{0} }{2(1)}
x = \frac{40}{2}
x = 20
अत: पार्क की लम्बाई 20 m है ।
तथा चौड़ाई = 40 – 20 = 20 m है ।
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class-10-maths-exercise-4.4-solutionsप्रश्न 1. द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति कैसे ज्ञात करते हैं ?
माना द्विघात समीकरण ax2 +bx+c = 0 है तो मूलों की प्रकृति होगी –
(i) यदि b2-4ac > 0 है तो मूल वास्तविक व भिन्न-भिन्न होंगे ।
(ii) यदि b2-4ac = 0 है तो मूल वास्तविक व बराबर होंगे ।
(iii) यदि b2-4ac < 0 है तो मूल वास्तविक नहीं होंगे ।
प्रश्न 2. श्रीधराचार्य सूत्र लिखिए ।
द्विघाती सूत्र से ( श्रीधराचार्य विधि से ) x = \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}
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